Page 112 - 《应用声学》2023年第1期

108 2023 年 1 月

其中，V 0 是声源强度，H 为波导深度，ξ l 和 b l 分别对
0 引言
应第 l 阶模态的水平波矢和垂直波矢，ω 是圆频率。
Waterhouse [1] 于 1985 年对水下能量流进行了 由声场势函数可得波导声压和振速：
∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ
流线图绘制，并对声场能量流进行了跟踪，指出能量 P = −ρ ; V R = ; V z = . (2)
∂t ∂R ∂z
流线附近有奇异点存在，为水声学提供了新的研究
则水平和垂直周期内平均功率流密度向量为
思路。之后 Skelton [2] 开展了平面波入射水中弹性 1
∗
球形外壳实验，证明涡点处声压接近0 Pa，鞍点处周 ⟨J R ⟩ = 2 Re (PV ) , (3)
R
期平均振速接近0 m/s。Mann [3] 通过几何论证的方 ⟨J z ⟩ = 1 Re (PV ) . (4)
∗
z
法，证明了奇异点是流函数的一个孤立极值。Chien 2
对公式 (3) 和公式 (4) 进行计算，得到 l 阶模态
等 [4] 通过微分方程描述流线强度的方式对二维声
和q 阶模态的水平和垂直周期内平均功率流密度向
场中奇异点附近的流线行为进行分析，在 “鞍点处
量方程：
周期内平均振速接近 0 m/s”的基础上指出：周期内
平均振速和声压相位差为奇数倍的π/2位置也会产 (R/B) ⟨J R ⟩
生鞍点。2001 年，Eliseevnin 等 [5] 研究了浅海理想 = cos (b l Z 0 ) cos (b l z) + cos (b l Z 0 ) cos (b q z)
2
2
2
2
波导中两个模态干涉产生的奇异点和声功率流，通 + (2 + α) cos (b l Z 0 ) cos (b q Z 0 ) cos (b l z)
过声功率流图像和掠射角图像更直观地探讨了声
× cos (b q z) cos [(ξ l − ξ q ) R] , (5)
功率流特性。2008年，水下奇异点被真正检测到 [6] 。
Shchurov [7] 于 2019 年通过检测奇异点的实验证明 (R/B) ⟨J z ⟩
1 [
了奇异点的分布，并且涡点会随着时间发生位移，这 = √ b q cos (b l z) sin (b q z)
有望成为未来获取海洋环境变化的信息来源。 ξ l ξ q
]
本文在之前研究的基础上，通过仿真分析不同 − b l cos (b q z) sin (b l z) sin [(ξ l − ξ q ) R]
条件下奇异点的分布特征，并将其与声源深度进行 × cos (b q Z 0 ) cos (b l Z 0 ) , (6)
联系，研究由奇异点获得声源深度的方法。本文主 2
ξ l + ξ q ρωV 0 。要解得奇异点
要内容如下：(1) 推导典型浅海中声源远场奇异点 其中，α = √ − 2，B = 2
ξ l ξ q 4πH
位置的公式；(2) 分析邻阶模态组 (Adjacent mode 位置(R, z)，只需令⟨J R ⟩ = ⟨J z ⟩ = 0来求解R 和z。
group, AMG) 的阶数、阶差与奇异点分布之间的关 (a) 第一组奇异点
系，进一步建立奇异点位置与声源深度之间的关系。 令公式 (6) 中 sin [(ξ l − ξ q ) R] = 0，解得第一
文中，AMG 是在已激发模态中任选两个模态进行 nπ
组奇异点水平坐标 R = (n = 1, 2, · · · )，
组合的简称；阶数是 AMG 较低阶模态的阶数；阶差 ξ l − ξ q
π
是AMG两个模态阶数之差。 即为场干涉结构周期的大小，将 R 代入公
ξ l − ξ q
式(5)得
1 奇异点位置计算
(R/B) ⟨J R ⟩
2001 年，Eliseevnin 等 [5] 研究了两个传播模态 = [cos (b l Z 0 ) cos (b l z) ± cos (b q Z 0 ) cos (b q z)] 2
在波导中产生的声功率流，推导了声源位于海底时
± α cos (b l Z 0 ) cos (b q Z 0 ) cos (b l z) cos (b q z) . (7)
两个模态干涉产生的远场奇异点位置。本文将讨论
为了简化运算，通过先估算再补偿的方式进行
更为普遍的情况，即浅海中任意深度声源产生的远
求解。令公式 (7) 中 α = 0 ，式子化为完全平方式，
场奇异点位置。为方便分析，假设海洋环境水平各
进一步求解得
向同性，二维平面坐标系的水平轴为距离R，垂直轴
′
′
为深度z，以海底为深度参考零点。声源位于(0, Z 0 ) cos(b l Z 0 ) cos(b l z ) + cos(b q Z 0 ) cos(b q z ) = 0, (8)
处时，波导远场的声场势函数 [8] 可表示为 cos(b l Z 0 ) cos(b l z ) − cos(b q Z 0 ) cos(b q z ) = 0. (9)
′
′
√ ) m
V 0 2π 2 ( π ∑ 1
Ψ = − j exp −j √ cos (b l Z 0 ) 公式(8)和公式(9)分别对应sin[(ξ l −ξ q )R] = 0
4π H πR 4 ξ l
l=1 时 cos[(ξ l − ξ q )R] = −1 和 cos[(ξ l − ξ q )R] = 1
× cos (b l z) exp [j (ξ l R − ωt)] , (1) 的结果，对两式进行求解得到第一组奇异点的