Page 125 - 《应用声学》2023年第2期

第 42 卷 第 2 期 黄艳芳等： 圆环振动拍的调整实验 313

ω nL 的模态称为 nL 模态，较高频率 ω nH 的模态称
0 引言
为 nH 模态，式 (1)、式 (2) 分别是 nL、nH 模态的固
圆环是径向和切向上运动的一种最简单的轴 有振型函数 [5] ：
对称结构。在理想状态中轴对称环的振动模态以简 U nL (θ) = cos n(θ − ψ L ), (1)
并对出现，具有相等的自然频率、空间正交性和不
U nH (θ) = cos n(θ − ψ H ), (2)
确定的角位置。现实中的圆环是无法达到理想状态
ψ H = ψ L + π/2n, (3)
的，它总是带有某些微小缺陷 (包括质量和结构缺
陷)，造成了振动模态自然频率的分裂。如果分裂的 其中，n = 2, 3, 4, · · · ，θ 是点的坐标，ψ L 、ψ H 为圆环
频率之间和振幅之间接近，就会产生拍现象。 nL、nH 模态的反节点。
生活中拍击现象几乎无处不在。利用拍击现象 圆环节点和反节点的特点是沿圆周均匀地交
的例子也随处可见，例如调音师校准乐器、陀螺仪 替分布，同时 nL 模态的节点是 nH 模态的反节点，
利用拍现象调整精度，而大钟的钟声是拍现象的最 反之亦然。圆环振动模态反节点 (节点)的位置只和
好体现。大钟在铸造后因自身缺陷使模态频率产生 圆环的非对称因素有关 [5] 。ψ L 和ψ H 的坐标只能通
分裂，若使大钟发出周期性时高时低的清晰拍声， 过模态测试才能确定。
就要调整大钟的频率和振型。敲钟的冲击点选在 2 1.2 振动拍的生成
阶模态的反节点中间，此时产生的拍最明显 (参考
式 (4) 是点冲击激励下 n 模态加速度振动拍简
式 (4))。
化的理论模型 [5] ：
深入研究圆环的拍现象首先要从研究圆环的
2F ˆ −ζ na ω na t
振动模态开始。近百年来圆环振动问题一直受到极 b n (θ, t) = − e ω na
M
大的关注，这是因为圆环振动分析较容易获得精确 ∗
× [cos n(θ − ψ L ) cos n(θ − ψ L ) sin(ω nL t)
数学解，因此在实际工程分析中，经常用圆环振动
+ cos n(θ − ψ H ) cos n(θ − ψ H ) sin(ω nH t)], (4)
∗
分析来简化较为复杂的轴对称结构振动问题。在圆
其中，平均阻尼比 ζ na = (ζ nL + ζ nH )/2；平均频率
环的相关研究中，Fox [1] 采用 Rayleigh-Ritz 计算模
ˆ
态方法和运用 Flügge [2] 的薄壳理论提出了一种 “等 ω na = (ω nL + ω nH )/2；F 为冲量；R 为圆环平均半
∗
效质量”观点用以消除微小非对称圆环的频率分裂； 径；θ 为冲击点坐标；M 为圆环质量。
Rourke 等 [3] 提出了一种可以同时调整圆环的多对 这时生成的 n 模态拍的频率是 ω nb = (ω nH −
模态的数值程序；Park等 [4] 从理论上证明了在微小 ω nL )，只与非对称程度有关。
非轴对称圆环和它的等效圆环中加入第二点质量
2 等效圆环理论
时，两种模型的模态特性变化是相同的。
本文应用等效圆环的理论建立等效圆环模型， 2.1 等效圆环
在模型上添加第二个质量获得所需的拍周期和清
轴对称圆环带有多个附加质量 (图 1)，其中
晰度，并用实验测试和有限元分析验证这一方法的
有效性。 φ i

1 圆环结构拍的发生原理
φ 
m 
1.1 圆环的模态振型
m i m 
φ 
轴对称圆环的振动模态是成对出现的，两个模
态的自然频率相同。现实中，由于原材料的成分及
圆环厚度微小的不均匀性，理论上的轴对称被打
破。原先大小相等的轴对称圆环 n 模态的自然频率
ω n 分离成大小相差非常小的两个自然频率 ω nL 和 图 1 圆环带有多个附加质量
ω nH ，分裂程度与不对称程度有关。其中较低频率 Fig. 1 Ring with multi - added masses