Page 126 - 《应用声学》2023年第2期

314 2023 年 3 月

2
2
2 2
2
轴对称圆环成对出现的 n模态振动的两个相同自然 [{(1 − n ) /4n }{1 + β(1 − n )} + 1] 1/2 ；E 为杨
频率为ω 0n ， 氏模量，ν 为泊松比，为材料密度；h、R 分别是轴对
[1]
√
[ 2 2 2 2 ] 1/2 2 2
1 E (n − a n ) +βa (1 − n ) 称圆环的厚度和平均半径；β = h /(12R )。
n
ω 0n = ,
2
R ρ(1 − ν ) 1 + a 2 n Fox [1] 根据Rayleigh-Ritz方法推导出了有多个
(5) 附加质量的圆环 n 模态振动的两个自然频率 ω nL 、
其中，a n 为径向位移与切向位移比，n = 2, 3, ω nH (式(6))和反节点位置ψ nL 、ψ nH (式(7))：
2
2
4, · · · ， a n = {(n − 1)/2n}{1 + β(1 − n )} +
 
2
1 + α n
2
2
ω nL,nH = ω 0n  ∑  , (6)
2
2
(1 + α ) + m i [(1 + α ) ∓ (1 − α ) cos 2n(ϕ i − ψ n )]/M 0
2
n
n
n
i
∑
m i sin 2nϕ i
i (7)
tan 2nψ n = ∑ ,
m eq φ eq
m i cos 2nϕ i
i
其中，M 0 为轴对称圆环的质量；m i 为附加质量，
i = 1, 2, 3, · · · ；取 ψ n = ψ nL ；ϕ i 为第 i 点质量的
位置。
将式 (6)、 式 (7) 进行三角变换并整理得到
式 (8) ∼(11)：
图 2 等效圆环
∑
m i sin 2n(ϕ i − ψ n ) = 0, (8) Fig. 2 An equivalent ring
∑
m i cos 2n(ϕ i − ψ n ) = Mλ n , (9) 这个等效圆环 (图 2) 的自然频率、节点位置等
振动特性和要调整拍的圆环的n模态完全相同。
2
2
(ω nL − ω 2 nH )(1 + α )
n
λ n = , (10) 将式 (6)简化为等效圆环的两个模态频率 ω nL 、
2
(ω 2 + ω 2 )(1 − α )
nL nH n
ω nH:
∑
M = M 0 + m i . (11) ( 1 + α 2 )
2
2
ω nL = ω 0n n , (15)
2
2
若调整某一圆环 (如图 4 的铜圆环)，测试得到 (1 + α ) + (2m eq α /M 0 )
n
n
的自然频率为 ω nL,nH 和反节点位置为 ψ n ，质量为 ( 1 + α 2 )
ω 2 = ω 2 n . (16)
M，可以建立一个轴对称并带有一个附加质量的等 nH 0n (1 + α ) + (2m eq /M 0 )
2
n
效圆环理论模型 (图 2)。考虑到只有一个附加质量， 导出轴对称圆环的自然频率ω 0n ：
从式 (8)∼(11) 归纳出式 (12)∼(14)，以求得等效质 (a − 1)ω 2 ω 2
2
2
ω 0n = n nL nH . (17)
2
量 m eq 和它的位置 ϕ eq , 同时导出轴对称圆环的质 a ω 2 − ω nH
2
n nL
量M 0 。 2.2 利用等效圆环理论调整拍
m eq sin 2n(ϕ eq − ψ n ) = 0 ⇒ ϕ eq = ψ n , (12) 在等效圆环上附加第二个质量 m 2 (图 3) 后，利
用式 (18)、式 (19) 能够确定图 3 中圆环的自然频率
m eq cos 2n(ϕ eq − ψ n )=Mλ n ⇒ m eq =Mλ n , (13)
和反节点位置，根据式 (4) 的原理，可以达到调整拍
M = M 0 + m eq . (14) 的目的。
2
ω 2 = ω ×
nL,nH 0n
( 2 )
1 + α
n
2 2 2 2 2 ,
n
(1 + α ) + m eq [1 + α ∓ (1 − α ) cos 2n(ϕ eq − ψ n )]/M 0 + m 2 [1 + α ∓ (1 − α ) cos 2n(ϕ 2 − ψ n )]/M 0
n
n
n
n
(18)