Page 241 - 《应用声学》2023年第2期

第 42 卷 第 2 期 王佳乐等： 曲线坐标系下孔隙介质圆柱纵向表面波的传播特性 429

2
数 [13] 可分别表示为 ρ 11 R − ρ 12 Q − (PR − Q )/c 2
ls
η 2 = ,
[( ) ]
p 2 p 2 ρ 22 Q − ρ 11 R
q 1 + 2 1 γ− 1 γ 2
φ sf = A 1 e 4q ρ α 4q 1 ρ α e i(kα−ωt) , ρ 12
1
η 3 = − , (7)
[( ) ]
p 2 p 2 ρ 22
q 2 + 2 2 γ− 2 γ 2
φ ss = A 2 e 4q ρ α 4q 2 ρ α e i(kα−ωt) , 其中，P = A + 2N；R、Q、A、N 为孔隙介质的 4 个
2
[( ) ]
l 2 l 2 弹性系数 [15] ，可通过相关参数 k s (固体基质体积模
s+ 2 0 γ− 0 γ 2
ψ s = A 3 e 4s ρ α 4sρ α e i(kα−ωt) . (5) 量)、k f (流体体积模量) 和k b (骨架体积模量) 计算得
因此纵波总势函数表示为 φ s = φ sf + φ ss ，横波 到；c lf 、c ls 、c t 分别为快纵波、慢纵波和横波波速；
总势函数表示为 ψ s 。其中，A 1 、A 2 、A 3 为待定系 ρ 11 为固体有效密度，ρ 22 为液体有效密度。
2
2
2
数，q = k − k ，q = k − k ，s = k − k ， 纵向表面波位移表达式如下所示：
2
2
2
2
2
2
ls
lf
1
2
t
2
2
2
2
2
p = k + k ，p = k + k ，l = k + k ，k 为表面
2
2
2
2
1 0 lf 2 0 ls 0 0 t  1 ∂φ s ∂ψ s ψ s

波波数，k 0 为孔隙介质的平面Rayleigh波波数。  u αs = − − ,

 h α ∂α ∂γ h β ρ β


液相部分势函数可表示为 


 ∂φ s 1 ∂ψ s
 u γs = + ,


φ f = η 1 φ sf + η 2 φ ss ,
  ∂γ h α ∂α
(6) (8)
ψ f = η 3 ψ s ,  u αf = − − ,
  1 ∂φ f ∂ψ f ψ f


 h α ∂α ∂γ
 h β ρ β
其中，η 1 、η 2 、η 3 快纵波、慢纵波和横波相对应液相参 



 ∂φ f 1 ∂ψ f
与系数 [14] ，其表达式为  u γf = + .

∂γ h α ∂α
2
ρ 11 R − ρ 12 Q − (PR − Q )/c 2 lf
η 1 = , 应力表达式如下所示：
ρ 22 Q − ρ 12 R
( )

∂u γs 1 ∂u αs 1 1 ∂u γs
 σ γγs = 2N + A + u γs + u γs +


 ∂γ h α ∂α h α ρ α ρ β ∂γ



 ( )

 1 ∂u αf 1 1 ∂u γf

 + Q + u γf + u γf + ,

 h α ∂α ∂γ
 h α ρ α ρ β

 ( )
 1
1 ∂u γs ∂u αs
σ αγs = N + − u αs , (9)
 h α ∂α ∂γ h α ρ α

 ( )

 1 1
 1 ∂u αs ∂u γs
 σ γγf = Q + u γs + u γs +


 h α ∂α h α ρ α ρ β ∂γ



 ( )
 1 1
 1 ∂u αf ∂u γf

 + R + u γf + u γf + ,
h α ∂α h α ρ α ρ β ∂γ
其中，u αs 、u γs 分别为固相纵向位移和法向位移； 其中，m ij (i, j = 1, 2, 3) 的表达式见附录 A。频散方
u αf 、u γf 分别为液相纵向位移和法向位移；σ γγs 、 程表示为
σ αγs 分别为固相法向应力和纵向应力，σ γγf 为液相
det [m ij ] = 0, i, j = 1, 2, 3. (12)
法向应力。
在孔隙介质圆柱界面处 (γ = 0) 应满足以下边 2 数值模拟与分析
界条件：
选取孔隙岩石介质参数和流体参数 (表 1) [16]
σ γγs = σ αγs = σ γγf = 0. (10)
(对应于孔隙度β 0 为0.1时)进行数值模拟。
由式(9)、式(10)可得3个待定系数相关的方程组： 固体骨架体积模量 k b 和固体骨架剪切模量 N
     
与孔隙度有关，当孔隙度 β 0 大于 0.5 后，剪切模量
m 11 m 12 m 13 A 1 b 1
      趋于零，孔隙介质变为悬浮体。鉴于岩石类材料的
      (11)
 ,
 m 21 m 22 m 23   A 2  =  b 2
孔隙度基本上小于0.2 [17] ，本文选取的孔隙度在 0.2
     
m 31 m 32 m 33 A 3 b 3
以下。