Page 81 - 《应用声学）》2023年第5期

第 42 卷 第 5 期 杨丽荣等： 基于局部线性嵌入的特征融合方法在岩石破裂状态分类的应用 973

(1) 近邻域选择 则计算低维嵌入坐标的极小化误差函数，式(3)
若想要得到高维数据集X = [x 1 , x 2 , · · · , x n ] ∈ 可以用如下形式表示：
R D×N 各数据点的最近邻点，可以利用各数据点之 n
k
2
∑
∑
间的欧氏距离来寻找，其中，点 x i 的 k 个最近邻点 E(Y ) =
y i − w ij y j

i=1 j=1
集合为R(x i ) = {x i1 , x i2 , · · · , x ik }。
n
(2) 计算数据点局部最优近邻线性重构权值 ∑

2
=
Y I i − Y W i T
对数据集 X = [x 1 , x 2 , · · · , x n ] ∈ R D×N 中的
i=1
所有点，给予约束条件：若是 x i 的近邻点，即 n
∑
=
Y (I i − W ) . (5)
T
x j ∈ R(x i )，则线性重构权值表示为 w ij ；若 x j i
不是 x i 的近邻点，即x j /∈ R(x i )，则w ij = 0。因此， i=1
∑ 2 ∑ T
可用最小二乘重构误差极小化原则来处理最佳线 根据矩阵迹的性质： i ∥a i ∥ = i a a i =
i
T
2
性重构权值矩阵： tr(A A) = ∥A∥ ，可以将式(5)用矩阵迹表示如下：

2
n
k
∑
∑
E(w) = min
x i − w ij x j
,

2 T
T

E(Y ) = Y (I − W ) = tr(Y MY ). (6)
i=1 j=1
 同理，将式 (6)进行推导，把低维嵌入坐标 Y 求
k
∑

 w ij = 1, x j ∈ R(x i ), 解转化为最小特征值的求解问题，即
s.t. (1)
j=1

 T
w ij = 0, x j /∈ R(x i ). (I − W ) (I − W )Y = λY ,
 (7)
T
数据点 x j 对 x i 在重构过程中的贡献为权值 式(6)∼(7)中，M = (I − W ) (I − W )为n × n 的
∑
w ij 。各数据点与其近邻点之间的局部几何关系为 矩阵；矩阵元素m ij = δ ij −w ij −w ji + w ki w kj ；
k
重构权值矩阵W = {w ij }。由于数据点的近邻线性 I 表示单位矩阵；λ 表示矩阵的特征值。M 的最小
重构权值不会发生改变，因此当数据集发生各种变 d + 1个特征值对应的特征向量[γ 2 , γ 3 , · · · , γ d+1 ]为
化时，重构权值矩阵都不会改变，因此，式 (1) 可以 低维嵌入坐标Y ，可表示为
表达成如下形式： T
Y = [γ 2 , γ 3 , · · · , γ d+1 ] . (8)
n
k
2
∑
∑
根据分析 LLE 算法计算步骤可知，由于低维
E(w) = min
x i − w ij x j

i=1 j=1 嵌入坐标的准确性会随着 k 值发生变化，因此该
算法的前提是需要设定每个样本点的近邻参数
n
k
2
∑
∑
= min
w ij (x i − x j )
. (2) k，同时，近邻点数过多会导致原始数据中的非

i=1 j=1 近邻点也被纳入近邻区域；近邻点个数过少会使
(3) 求解原始信号在低维空间下的坐标 高维原始数据集中的内在结构发生扭曲且近邻域
低维嵌入空间下的坐标及其近邻点的计算，必 不连通。
须保持高维数据空间点之间的重构权值固定不变，
2 砂岩单轴压缩试验设计
利用极小化误差函数求低维嵌入坐标。即：
n
k
2 2.1 岩样选择与制备
∑
∑
E(Y ) =
y i − w ij y j
, (3)

试验中的红砂岩采自两地矿山以确保实验结
i=1 j=1
果的泛化能力。红砂岩G采用赣州某地质脆性粗粒
式(3)中，y i 为低维嵌入坐标；Y = {y i }为低维嵌入
红砂岩，红砂岩 R 取自广西某锡矿。为达到本次试
坐标矩阵。低维坐标矩阵在进行旋转、平移要想保
验的预期目标，将取回的岩体由钻孔取样机得到柱
持不变，必须满足条件：
状岩芯，经岩体自动切割机进行分割，最后得到标
n n
∑ 1 ∑ T 准岩样50 mm × 100 mm为两个端面被打磨后的岩
y i = 0, y i y = I. (4)
i
n
i=1 i=1 样，具体如表1和图1所示。