Page 62 - 《应用声学》2023年第6期

1172 2023 年 11 月

(3) 晶粒轴线斜率随着距焊缝中心距离的增加 即
而减小；
Γ 11 − ρc 2 Γ 12 Γ 13
(4) 沿焊接边缘倾斜面的晶粒轴斜率整个表面
2 (5)
Γ 21 Γ 22 − ρc Γ 23 = 0.
上近似恒定；
2
(5) 晶粒轴方向的变化率随着距焊接中心距离 Γ 31 Γ 32 Γ 33 − ρc
的增加而减小。 对于某个特定的波矢方向 n = (n 1 , n 2 , n 3 )，将
综合以上特征，Ogilvy [2] 提出了近似描述 V 型 其代入式(5)，求解得到特征值λ i 和特征向量v i ：
焊缝(图1)内各点晶粒取向的分布函数： ρ
λ i = , (6)
( )
 2
T 1 |D 1 + z tan α 1 | m i
 arctan , x < 0,

 η
|x| v i = p i , (7)
θ(x, z)= ( )
 T 2 (D 2 + z tan α 2 )
 arctan , x > 0,

x η 其中，i = 1, 2, 3，m i = k i /ω 为慢度 m 的分量，p i
(1) 为极化矢量的分量。相速度和群速度的分量可分别
表示为
其中，θ 表示焊缝区域内各点 (x, z) 处晶粒取向与 x
方向的夹角；D 1 和 D 2 为焊缝底部原点到倾斜边界 c pi = 1 , (8)
面的距离；α 1 和 α 2 为焊缝坡口与 z 轴的夹角；η 表 m i
1
示晶粒取向在 x方向上变化的快慢程度；T 1 和T 2 与 c gi = C ijkl p j p k m l , (9)
ρ
晶轴取向在左右两边界面 (坡口面) 上的斜率成正
其中，i = 1, 2, 3。
比。对于形状和参数确定的焊缝，通过式(1) 可给出
根据 Ogilvy焊缝模型，可以得到焊缝区域内每
焊缝区域内每一点处的晶粒取向。
一点的晶粒取向与 x 方向的夹角 θ。将弹性常数变
换到晶轴坐标系中，即可计算出各点处的相速度和
群速度。群速度代表了能量的传播，根据 Fermat能
T 
T 
z
α  α  量最小作用原理，能量总是沿着时间最小的路径传
播。当群速度分布被确定，就可以使用路径追踪方
x
法确定基于群速度分布的时间最短路径，也就是声
D  D 
图 1 V 型焊缝示意图 能量的传播路径。
Fig. 1 The V-shaped weld
1.3 Dijkstra路径搜索算法
1.2 各向异性介质中声速的计算 通过射线追踪方法对声传播路径以及传播时

对于各向异性介质，由声波方程和简谐波解可 间进行预测，能够得到更加接近于实际的聚焦延时，
得到Christopher方程： 从而得到相对准确的成像结果。出于对成像实时性
和准确性的要求，射线追踪算法需要具有尽可能高
2
[Γ ik − ρc δ ik ][u k ] = 0, (2)
的计算效率。Dijkstra 算法是计算机领域常用的路
径搜索算法之一，由荷兰科学家 Dijkstra 在 1959 年
其中，Γ ik = C ijkl n j n l 为 Christopher 声张量，C ijkl
为弹性张量，u k 为k 方向偏振位移，ρ 为密度，c为波
提出，用于解决有权图中两节点间的最短路径问题。
速，δ il 为Kronecker δ 函数，
Dijkstra 算法围绕两个列表进行，两个列表分别存

1, i = l,
 放已知最短路径的节点和剩余所有节点，每个节点
δ il = (3)
0, i ̸= l.
 记录和更新自身与选定起点的最短路径长度值。算
法的每一步以剩余节点列表中拥有最短路径的节
若式 (2) 有非平凡解，则系数矩阵行列式必须
点为操作对象，进行松弛操作——即比较路径长度，
为0，则有
寻找并更新可能的更短路径长度。在每一步操作之
2

后，都有一个节点由剩余节点列表移入已知最短路
Γ ik − ρc δ ik = 0, (4)