Page 48 - 《应用声学》2024年第1期

44 2024 年 1 月

式(10)，相关函数化简可得 当波束宽度较小时，波束中心与椭圆几何中心一致，
N I N I ≈ f d ，忽略相关函数简化导致的误差，利用欧拉
∑ ∑ ∑ ∑ f d 0
R(τ) = a ′′ a ′′
k 1 ,i 1 k 2 ,i 2 公式可将相关函数表示为
k 1 =−N i 1 =−I k 2 =−N i 2 =−I
N I
sin φ(T − τ) ∑ ∑
× e jφ(T −τ) e j(w r τ) (18) R(τ) = e j2πf d τ a ′ Sa ′
2 ,
φ k 2 i 2
k 2 =−N i 2 =−I
其中，
τ)). (24)
× (cos(w r 2 τ) + j sin(w r 2
[ ]
)
φ = π (k 2 − k 1 )∆ −1 + d(D k 2 − D k 1
黎美琪 [2] 分析宽带发射信号频谱不对称时提
[ ( )
f d 0 + k 2 ∆ −1 + dD k 2
+ i 2 1 + 出单质点模型下宽带回波信号做复相关可得
f 0
∫ T −τ
( )]
− i 1 1 + f d 0 + k 1 ∆ −1 + dD k 1 ∆f, (19) R(τ) = e iw d τ |z(t)| |z(t + τ)|
f 0 0
[ ( )] j∆w r ∫ (ρ(t+τ)−ρ(t))dt
f d × e dt. (25)
+ i 2 ∆f 1 + .
w r 2 = 2π f d 0 + k 2 ∆ −1 + dD k 2
f 0
(20) 相位偏差系数
∫
相关函数的实部为 ∆φ = (ρ(t + τ) − ρ(t))dt
τ) sin 2φ(T − τ)
cos(w r 2
Re(R) =
2φ 是幅度和时延的函数，若相关时延为整数倍周期值，
τ)(1 − cos 2φ(T − τ)) ∆φ = 0，即时延值估计准确，测速结果与频谱结构
sin(w r 2
− . (21)
2φ 无关。椭圆回波信号相关函数中正弦函数为周期函
相关函数的虚部为 ，若相关时延取值准确，即
数且周期为 T = 2π/w r 2
τ) sin 2φ(T − τ)
sin(w r 2 τ = NT，N 为整数)，正弦函数趋于零，不对称频
Im(R) =
2φ
谱引入的频移偏差在相关中可完全去除，但实际相
τ)(1 − cos 2φ(T − τ))
cos(w r 2
+ . (22) 关时延一般取单次编码的时间长度 τ = 1/∆f，所
2φ
以波束开角造成的频谱不对称影响测频结果出现
由于式 (21)、式 (22) 后一项比前一项低 3 个数
偏差。
量级，故相关函数可进一步简化为
滤波器的中心频率一般设置为发射信号的中
N I
∑ ∑ τ
′
R(τ) = a ′ Sa e jw r 2 , (23) 心频率，假设滤波器为理想低通滤波器，仅通带截止
k 2 i 2
k 2 =−N i 2 =−I
频率内的频点会通过滤波器，此时I = L。复自相关
其中， 频率估计算法指出计算多普勒频移是对相关函数
K I
∑ ∑ sin 2φ(T − τ) 的相位进行估计 [6] ，相关函数的相位由虚部与实部
S = a ′ a ′ ,
k 1 i 1
2φ 比值的反正切得到
k 1 =−K i 1 =−I
N I
∑ ∑ { [ ( )] }
f d
′ ′
Sa a sin 2π f d 0 + k 2 ∆ −1 + dD k 2 + i 2 ∆f 1 + τ
k 2 i 2
f 0
φ = tan −1 k 2 =−N i 2 =−I . (26)
N I
∑ ∑ { [ ( f d )] }
′ ′
Sa a cos 2π f d 0 + k 2 ∆ −1 + dD k 2 + i 2 ∆f 1 + τ
k 2 i 2
f 0
k 2 =−N i 2 =−I
回波信号的相位误差∆φ = φ − 2πf d τ，则频移误差∆f = f − f d ，整理得测频偏差
K
∑
a ′ U + sin(2π(f d 0 + dD k 2 )τ)(P 1 + P 2 ) + cos(2π(f d 0 + dD k 2 )τ)(G 1 − G 2 )
k 2(0)
1 −1 k 2 =1
∆f d = tan − f d ,
K
2πτ ∑
a ′ V + sin(2π(f d 0 + dD k 2 )τ)(G 2 − G 1 ) + cos(2π(f d 0 + dD k 2 )τ)(P 1 + P 2 )
k 2(0)
k 2 =1
(27)