Page 193 - 《应用声学》2024年第6期

第 43 卷 第 6 期 文仕豪等： 弯曲振动复合楔形超声聚能器的设计 1369

 √
n 1 λ 1 (1+λ 2 ) sin n 2 l − n 2 λ 2 (1+λ 1 ) sinh n 1 l 2 C √
T 12 = ,  , C 1 = E/ρ,
 a =

2
n 1 n 2 S 2  1/C − 1/C 1 2

2
(1 + λ 1 )(1 + λ 2 )(cosh n 1 l − cos n 2 l) w=2πf,
T 13 = ,  C 2 = √ K G/ρ, C = A 0 ρ/(EI),

′

S 1 S 4 

(1 + λ 2 )n 1 sin n 2 l + (1 + λ 1 )n 2 sinh n 1 l
T 14 = ,
其中，l 表示第 i 段等截面杆的长度，f 表示频率，h
n 1 n 2 S 2 S 4
2
λ 2 λ sin n 2 l − (1 + λ 1 )n 2 sinh n 1 l 和d分别表示第i段等截面杆的高度和宽度。
1
T 21 = ,
因此，对于图 2 所示复合楔形聚能器的弯曲振
S 1
λ 2 cosh n 1 l − λ 1 cos n 2 l
T 22 = , 动满足以下向量传递关系：
S 2
−n 1 (1 + λ 2 ) sinh n 1 l + n 2 (1 + λ 1 ) sin n 2 l Z 1 = T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 T 6 T 7 T 8 T 9 T 10 T 11 Z 12 = T Z 12 .
T 23 = ,
S 1 S 4 (10)
cosh n 1 l − cos n 2 l
T 24 = , 结合聚能器两端自由的边界条件，即两端的弯
S 2 S 3
2 2
S 4 λ λ (cosh n 1 l − cos n 2 l) 矩和剪应力都为零，则式(10)可改写为
1 2
T 31 = ,      
S 1
Y 1 O 11 O 12 O 13 O 14 Y 12
−S 4 (n 1 λ 2 sinh n 1 l + n 2 λ 1 sin n 2 l)      
T 32 = ,      
 ϕ 1   O 21 O 22 O 23 O 24   ϕ 12 
S 2 . (11)
  =    
2
2
n (1 + λ 2 ) cosh n 1 l + n (1 + λ 1 ) cos n 2 l      
 0 
1
  0 
2
 O 31 O 32 O 33 O 34
T 33 = ,      
S 1
0 O 41 O 42 O 43 O 44 0
S 4 n 1 sinh n 1 l + S 4 n 2 sin n 2 l
T 33 = , 式(11)进一步简化可得
−S 2 S 3
2
2
S 3 (n 1 n λ 1 sinh n 1 l − n 2 n λ 2 sin n 2 l)
2
1
T 41 = , O 31 O 32
S 1 = O 31 O 42 − O 41 O 32 = 0. (12)

S 3 (λ 1 λ 2 cos n 2 l − λ 1 λ 2 cosh n 1 l) O 41 O 42
T 42 = ,
S 2 式 (12) 即为复合楔形聚能器弯曲振动的共振
1 [ (
T 43 = S 3 n 1 λ 1 (1 + λ 2 ) sinh n 1 l 频率方程，它与聚能器的各部分材料、尺寸和弯曲
S 1 S 4
共振频率有关。当聚能器的结构尺寸和参数确定
)]
+ n 2 λ 2 (1 + λ 1 ) sin n 2 l ,
后，通过求解式 (12) 即可得到聚能器各阶弯曲振动
λ 2 cos n 2 l − λ 1 cosh n 1 l
T 44 = , 的共振频率。
S 2
放大系数是衡量聚能器振动性能的一个重要
其中，
 参数，定义为聚能器在特定的谐振模式下输出端与
S 1 = n (1 + λ 2 ) + n (1 + λ 1 ), 输入端位移振幅的比值，其表达式为
 2 2
2
1
S 2 = λ 2 − λ 1 , S 3 = KA 0 G, S 4 = EI,

Y n+1
M = . (13)

Y 1
3
 A 0 = h · d, I = d · h /12,


 ( ) 在两端自由的条件下， 由式(6)可得：
 2 2 2 2
λ 1 = − w /C + n 1 ÷ (C · C), 
2
1
 
 Y 1 = O 11 Y n+1 + O 12 ϕ n+1 ,
 ( )
 2 2 2 2 (14)
 λ 2 = − w /C + n 2 ÷ (C · C),  0 = O 31 T n+1 + O 32 ϕ n+1 .
1
2
并且
将式(13)代入式(14)可得：
 √
√
 2
 1 + a O 32

 n 1 = F · w −1 + H , M = . (15)
 2
 w O 11 O 32 − O 12 O 31



 √
 √
1 + a 2 2 理论模型验证
 n 2 = F · w 1 + H ,
 w 2



 √ 复合楔形聚能器的前端后端均选用 45# 钢以
 2 2
 1 1 1 C − C
 1 2

 F = √ 2 − 2 , H = 2 2 , 满足聚能器在高强度的应用环境，其材料参数如
2 C 2 C 1 C + C 2
1