Page 192 - 《应用声学》2024年第6期

1368 2024 年 11 月

ŀŁł i

z
x
y
图 2 复合楔形聚能器及其一阶弯曲振动位移分布示意图
Fig. 2 Diagram of composite wedge horn and its first-order flexural vibration displacement distribution

根据Timoshenko弯曲梁理论 [21] ，对于等截面杆的弯曲振动满足以下方程组：

Y = (1 + λ 1 ) A 1 cosh n 1 x + (1 + λ 1 ) B 1 sinh n 1 x + (1 + λ 2 ) A 2 cos n 2 x + (1 + λ 2 ) B 2 sin n 2 x,





ϕ = A 1 n 1 sinh n 1 x + B 1 n 1 cosh n 1 x − A 2 n 2 sin n 2 x + B 2 n 2 cos n 2 x,

(1)
[ ]
2
2
2
2
M = EI A 1 n cosh n 1 x + B 1 n sinh n 1 x − A 2 n cos n 2 x − B 2 n sin n 2 x ,

2
2
1
1




 Q = −KA 0 G [λ 1 A 1 n 1 sinh n 1 x + λ 1 B 1 n 1 cosh n 1 x − λ 2 A 2 n 2 sin n 2 x + λ 2 B 2 n 2 cos n 2 x] ,
式(1) 中，Y 表示弯曲总位移，ϕ表示弯曲振动引起的截面转角，M 表示作用于截面的弯矩，Q 表示剪应力的
合力，G 表示对应材料的剪切模量，A 0 表示横截面积，K 表示面积系数，对应矩形截面的面积系数为 0.86，E
表示对应材料的杨氏模量，I 表示惯性矩，ρ 表示对应材料的密度，A 1 、A 2 、B 1 、B 2 为任意常数。定义截面状
态矩阵Z i ，表示为
[ ] T
. (2)
Z i = Y i ϕ i M i Q i
将A 1 、A 2 、B 1 、B 2 四个待定系数用如下向量表示：
[ ] T
. (3)
C = A 1 B 1 A 2 B 2
因此，式(1)和式(2)可以表示为
Z i = X i C, (4)
其中，
 
(1 + λ 1 ) cosh n 1 x (1 + λ 1 ) sinh n 1 x (1 + λ 2 ) cos n 2 x (1 + λ 2 ) sin n 2 x
 
 
 n 1 sinh n 1 x n 1 cosh n 1 x −n 2 sin n 2 x n 2 cos n 2 x 
X i =   . (5)
 2 2 2 2 
EIn cosh n 1 x EIn sinh n 1 x −EIn cos n 2 x −EIn sin n 2 x
 1 1 2 2 
 
−KA 0 Gλ 1 n 1 sinh n 1 x − KA 0 Gλ 1 n 1 cosh n 1 x KA 0 Gλ 2 n 2 sin n 2 x − KA 0 Gλ 2 n 2 cos n 2 x
当两端的自由时，有 x = 0，Z 0 = X 0 C；x = l， 矩阵满足以下传递方程：
Z l = X l C。联立并消掉待定系数向量，可得
Z i = T i Z i−1 , (8)
Z l = X l X 0 −1 Z 0 . (6)
式(8)中，T i 是第i个部分对应的传递矩阵，即：
因此, 均匀等截面弹性梁的弯曲振动传递方程  
可以表示为  T 11 T 12 T 13 T 14 
 
T 21 T 22 T 23 T 24 
Z l = T Z 0 . (7) T i =   ; (9)


T 31 T 32 T 33 T 34 
 
基于以上原理，将前端楔形块近似为 10个等截
T 41 T 42 T 43 T 44
面部分，则整个复合楔形聚能器的 11 个部分可用 2 2
(1 + λ 1 )n cosh n 1 l + (1 + λ 2 )n cos n 2 l
2
2
Z 1 、Z 2 、Z 3 、· · · 、Z 12 这 12个状态矩阵表示，各状态 T 11 = ,
S 1