Page 111 - 《应用声学》2025年第1期

第 44 卷 第 1 期 许龙等： 弯曲振动阶梯型变幅杆等效电路模型 107

在圆柱型金属梁两端自由的边界条件下沿z 方
⊲ ⊲
M  F  θ  V  V  θ  F  M 
y 向弯曲振动时，采用如下类比关系：剪切力F 类比为
z x 电压，振动速度V 类比为电流，简称为F-V 型类比。
图 1 圆柱型金属梁 基于 Timoshenko 梁理论 [11] ，圆柱型金属梁弯
Fig. 1 Cylindrical metal beam 曲振动满足以下状态方程组：


 η = (1 + λ 1 ) A 2 cosh n 1 x + (1 + λ 1 ) B 2 sinh n 1 x + (1 + λ 2 ) C 2 cos n 2 x + (1 + λ 2 ) D 2 sin n 2 x,





θ = A 2 n 1 sinh n 1 x + B 2 n 1 cosh n 1 x − C 2 n 2 sin n 2 x + D 2 n 2 cos n 2 x,

(1)
[ ]
2
2
2
2
 M = EI A 2 n cosh n 1 x + B 2 n sinh n 1 x − C 2 n cos n 2 x − D 2 n sin n 2 x ,

2
1
1
2




 F = −KA 0 G [λ 1 A 2 n 1 sinh n 1 x + λ 1 B 2 n 1 cosh n 1 x − λ 2 C 2 n 2 sin n 2 x + λ 2 D 2 n 2 cos n 2 x] ,
 −jωt 2
其中，η 为总弯曲位移；θ 为弯曲振动引起的截面角； e n 2

 A 2 = V 1 ,

M 是作用在截面上的弯矩；F 是由此产生的剪切应  jω α


 [ ]
 e −jωt 2
力；G是材料的剪切模量；A 0 是横截面积；K 为剪切  n 2 V 1 + V 2 ,


 B 2 = −
 jω α tanh(n 1 l) sinh(n 1 l)
系数，对于圆截面K = 0.9；E 是材料杨氏模量；I 惯 (3)
e −jωt n 2

性矩；ρ 材料密度；A 2 、B 2 、C 2 、D 2 为 F-V 型类比未  1 V 1 ,
 C 2 =

 jω α

知系数；ω 是角频率，f 是频率。  [ ]


 e −jωt n 2
 1 V 1 V 2
 + ,
 D 2 = −
2
2
2
2
2
(ω /C + n ) −ω /C + n 2 2 jω α tan(n 2 l) sin(n 2 l)
1
1
1
λ 1 = − , λ 2 = ,
CC 2 CC 2 式(3)中，α = n (1 + λ 2 ) + n (1 + λ 1 )。
2
2
2 2 1 2
√
√ 将式 (3) 代入式(1) 中剪切力 F 表达式，根据圆
1 + a 2
n 1 = Nω −1 + H , 柱型金属梁两端剪切力边界条件，可得
ω 2

√
√  F 1 = F| = Z 1 V 1 + Z 2 (V 1 + V 2 ) ,
1 + a 2 x=0 (4)
n 2 = Nω 1 + H ,
ω 2  F 2 = F| = Z 1 V 2 + Z 2 (V 1 + V 2 ) ,
x=l
√ 2 2
1/C + 1/C 1 其中，
2
N = √ , ω = 2πf,
2 [ n 2 λ 1 (cosh(n 1 l)−1) n 1 λ 2 (cos(n 2 l)−1) ]
√ Z 1 =β + ,
2
C − C 2 2 2 C jωα sinh(n 1 l) jωα sin(n 2 l)
1
H = , a = , [ ]
2
2
C + C 2 1/C − 1/C 2
1 2 2 1 n 2 λ 1 n 1 λ 2
√ √ Z 2 = β + ,
E K G A 0 ρ jωα sinh(n 1 l) jωα sin(n 2 l)
′
C 1 = , C 2 = , C = .
′
ρ ρ EI β = K A 0 Gn 1 n 2 .
依据二端口等效网络理论，可知式 (4) 描述了
图 1 中 V 1 和 V 2 为圆柱型金属梁边界处的振动
以 Z 参数为特征变量的二端口网络关系。由此可
速度，当圆柱型金属梁两端自由时，两端弯矩 M 1 和
以得出圆柱型金属梁 F-V 型类比弯曲振动 ECM，
M 2 均为0，可得到如下方程组：
如图 2 所示，其中 Z 1 和 Z 2 分别为串联和并联机械

∂η

 V 1 = , 阻抗。

 ∂t
 x=0

 V  V 

 ∂η

V 2 = − , Z  Z 
∂t (2)
x=l

 F 
 F 
 Z 
 M 1 = M| = 0,
 x=0




M 2 = M| = 0.
x=l
图 2 圆柱型金属梁 F-V 型类比弯曲振动 ECM
根据式 (2)，解得 F-V 型类比弯曲振动ECM 中
Fig. 2 ECM of F-V analogy bending vibration of
的未知系数(A 2 , B 2 , C 2 , D 2 )的表达式如下：
cylindrical metal beam