Page 112 - 《应用声学》2025年第1期

108 2025 年 1 月

V  V 
2 阶梯型弯曲振动变幅杆ECM Z A Z A Z D Z D
F  F 
Z B Z E
图 3 为阶梯型变幅杆 x-z 面几何示意图，阶梯
型变幅杆是由两个不同横截面积的圆柱型金属梁
组成，大端长度为 L，半径为 R；小端长度为 l，半径
图 5 弯曲振动阶梯型变幅杆 F-V 类比型 ECM
为r。如图4所示，当阶梯型变幅杆做弯曲振动时，变
Fig. 5 ECM of F-V analogy bending vibration of
截面分别存在位于波节(图4(a))和波腹(图4(b))。 stepped horn

L 图 5 中，Z A 和 Z B 分别为变幅杆大端部分的串
l
并联阻抗，Z D 和Z E 分别为小端部分的串并联阻抗。
其中，
z 2 πR ρ πR 4
2
′
x β 1 = K πR Gq 1 q 2 , C 3 = , I 1 = ,
y
EI 1 4
√
√ √
图 3 弯曲振动阶梯型变幅杆 x-z 面几何示意图 2 C 3 1 + a 2
a 1 = 2 2 , q 1 = Nω −1 + H 1 ,
Fig. 3 Geometric sketch of x-z plane of bending 1/C − 1/C ω 2
2 1
√
vibration stepped horn √ 2 2 2 2
1 + a 1 ω /C + q 1
1
q 2 = Nω 1 + H , ϕ 1 = − ,
ω 2 C 3 C 2
2
2
2
−ω /C + q 2 2 2 2
1
ϕ 2 = 2 , α 1 = q (1 + ϕ 2 ) + q (1 + ϕ 1 ).
1
2
C 3 C
2
[ ]
z q 2 ϕ 1 (cosh(q 1 L)−1) q 1 ϕ 2 (cos(q 2 L)−1)
Z A = β 1 + ,
y x (a) ͯ̆ฉᓬ jωα 1 sinh(q 1 L) jωα 1 sin(q 2 l)
[ ]
q 2 ϕ 1 q 1 ϕ 2
Z B = β 1 + .
jωα 1 sinh(q 1 L) jωα 1 sin(q 2 L)
[ ]
n 2 λ 1 (cosh(n 1 l)−1) n 1 λ 2 (cos(n 2 l)−1)
z Z D =β + ,
jωα sinh(n 1 l) jωα sin(n 2 l)
y x [ ]
(b) ͯ̆ฉᒌ n 2 λ 1 n 1 λ 2
Z E = β + .
jωα sinh(n 1 l) jωα sin(n 2 l)
图 4 弯曲振动阶梯型变幅杆
根据线性传输理论，可得弯曲振动阶梯型变幅
Fig. 4 Bending vibration stepped horn
杆F-V 类比型等效电路的输入机械阻抗表达式为
本文将阶梯型变幅杆的弯曲振动理解为两段 (Z A + Z F )Z B
Z in | F -V = Z A + . (5)
横截面不同的圆柱型金属梁弯曲振动的组合，当变 Z A + Z F + Z B
截面位于阶梯型变幅杆的波腹处时，在波腹处剪切 Z D Z E
其中Z F = Z D + 。
力 F 为 0，弯矩 M 为最大值 [21] ，导致波腹处不满足 Z D + Z E
F-V 弯曲振动 ECM 连续性条件；位于阶梯型变幅 由图 5 所示的弯曲振动阶梯型变幅杆的 F-V
杆的波节处时，弯矩 M 为 0，弯曲振动速度 V 为 0， 等效电路，可得其弯曲振动的前后振速比 KG(即弯
剪切力 F 为最大值 [21] 且阶梯型变幅杆的变截面处 曲振动阶梯型变幅杆的放大系数)为

在忽略应力集中条件下满足各力学量连续 [20−22] ， (Z A + Z B ) · Z E
KG = . (6)
而实际弯曲振动时，波节处存在一极小的弯曲振动 Z B · (Z D + Z E )
速度，满足 F-V 弯曲振动 ECM 连续性条件。因此
3 理论分析
利用上述推导的圆柱型金属梁 F-V 弯曲振动等效
电路建立弯曲振动阶梯型变幅杆的 F-V 类比型等 由于弯曲振动系统不满足‘半波长’规律的连接
效电路，为在变截面处体现出极小的弯曲振动速度 方法，而必须采用一体化的方法进行设计 [22] ，因此
且各力学量连续，如图 5 所示，在变截面处添加一变 本节在给定变幅杆小端几何尺寸、大端横截面尺寸
压器，两端变压比为1 : 1。 及共振频率的基础上，利用图 5 所示弯曲振动阶梯