Page 165 - 《应用声学》2025年第2期

第 44 卷 第 2 期 明超等： 结合有限新息率重构的水声宽带信号方位估计方法 425

1 h，然后将其代入式 (5)，用多项式求根方法可估计
ρ = C s (0, T) , (1)
T 角频率参数 ω k 。将 ω k 代入式 (6) 可估计幅度参数
其中，C s (t 1 , t 2 ) 表示信号 s(t) 在 [t 1 , t 2 ] 的时间范围
ˆ
A k ，由估计得到的参数可对 S(n) 和 s(t) 进行重构。
内的自由度数目，当 ρ 一定时，s(t) 为 FRI 信号。以
零化滤波器主要适用于对理想无噪声信号和新息
经典的 FRI 信号狄拉克脉冲串信号为例，一周期的
率较低的信号进行重构。在噪声环境下，零化滤波
狄拉克脉冲串信号s(t)可表示为
器方法会造成较大的重构误差。为了提升零化滤波
K
∑ ∑ 器的抗噪能力和信号重构精度，在求解上述方程时
s(t) = A k δ(t − t k − nT), (2)
可通过 TLS 法对参数进行求解，以及在求解参数之
k=1 n∈Z
ˆ
其中，A k 为第k 个脉冲的幅度参数，t k 为第k 个脉冲 前采用Cadzow降噪算法 [14] 对待处理信号 S(n) 进
的位置参数，K 为脉冲串个数，n 为周期数，T 为一 行预处理。
个周期的长度。该信号的新息率为 ρ = 2K/T。此
1.3 基于多项式比值模型的FRI重构算法
时，用采样核对信号进行滤波，并以大于ρ的速率进
Cadzow 算法虽然能够有效地进行降噪，但是
行均匀采样，通过重构算法估计信号的自由度，从而
需要通过不断迭代进行奇异值分解，因此计算复杂
重构原信号。
度较大。本文介绍一种基于多项式比值模型 [15−17]
1.2 零化滤波器
的 FRI 重构算法，该方法将 FRI 信号表示成两个多
式(2)的傅里叶级数展开可表示为 项式的比值，并通过求解多项式的根来估计多项式

∑
s(t) = S (n) exp (j2πnt/T) , (3) 系数，从而重构原信号。该方法不仅具有高重构精
n∈Z
( ) 度和强抗噪性能，还显著降低了计算量。下面以正
1 ∑ K −j2πnt k
ˆ
ˆ
其中，S(n) = A k exp , n = 弦和信号 S(n) 为例进行分析，S(n) 的离散傅里叶
T k=1 T
ˆ
1, · · · , N。令 ω k = 2πt k /T，S(n) = TS(n)，则正弦 变换 (Discrete Fourier transform, DFT) S DFT (n)
ˆ
ˆ
和信号S(n)可表示为 可以表示为
N
∑ K ∑ ( ′ )
ˆ
ˆ
ˆ
S(n) = A k exp (−jω k n) . (4) S DFT (n) = S (n ) exp −j2πn n
′
k=1 N
′
在 FRI 重构算法中，最经典的算法是零化滤波 n =1
K
器方法。该方法通过设计滤波器系数来估计信号参 = ∑ A k 1 − exp(jNω k ) = P K−1 (z) , (8)
数。零化滤波器的表达式为 k=1 1 − z exp(jω k ) Q K (z)
K K 其中，z = exp (−j2πn/N)，P K−1 (z) 表示 K − 1 阶
∏ ( ) ∑
H(z)= 1 − exp (−jω k ) z −1 = h k z −k , (5)
多项式，Q K (z) 表示 K 阶多项式。Q K (z) 的系数即
k=1 k=0
为零化滤波器的系数 h，对 Q K (z) 的根进行估计可
其中，h k 为零化滤波器的系数，exp (−jω k )为滤波器
获得角频率参数ω k ，其表达式为
的根。为了求解滤波器系数 h k ，需要使滤波器与待
重构信号的卷积结果为零，可表示为 ω k = real (−j lg (z k )) , (9)
∑ K
ˆ
ˆ
h n ∗ S(n) = h k S(n − k) = 0. (6) 其中，z k 为多项式Q K 的根。幅度参数A k 可表示为
k=0
式(6)可以表示为如下方程组 [6] ： ( 1 − z −1 )
A k = k z P K−1 (z) . (10)
    ( −N )
ˆ
ˆ
ˆ
S(0) S(−1) · · · S(−K) h 1 1 − z k Q K (z)
z=z k
   
S(1) S(0) · · · S (1 − K) 在 S(n) 含噪声的情况下，可以根据式 (8) 构造优化
ˆ
 ˆ ˆ ˆ   
   h 2 
. . . .
 . . . . .   
.
 . . . .   .  函数，其表达式为
   
ˆ ˆ ˆ N−1
S (K − 1) S (K − 2) · · · S(0) h K 2
∑ P K−1 (z)
min ˆ . (11)
S DFT −
ˆ
= Sh = 0, (7) P K−1 ,Q K Q K (z)
n=1
ˆ
其中，矩阵 S 为秩为 K 的 Topelitz 矩阵，K 为先验 式 (11) 为非线性问题，需采用非线性方法求解。这
信息。通过求解该方程组，可获得滤波器系数向量 里采取一种迭代方法 [15] 来求解，迭代公式为