Page 166 - 《应用声学》2025年第2期

426 2025 年 3 月

2
∑ Q (z)S DFT − P (z)
N−1 (i−1) ˆ (i) 波声源入射到阵元间距为的 N 元线列阵中，第 n 个
min K K−1 , (12) 阵元的接收信号(不包含噪声)可表示为

(i) (i) (i−1)
P ,Q Q (z)
K−1 K n=1 K
K ( )
其中，i表示迭代次数。令p表示多项式P 的K 个系 y n = ∑ x k exp −j2πf(n − 1) d cos θ k + e n ,
数，q 表示多项式Q的K + 1个系数，可表示为 k=1 c
n = 1, · · · , N, (19)
P K−1 (z) = W N,K p, Q K (z) = W N,K+1 q, (13)
其中，x k 为第 k 个声源幅度，f 为声源频率，c 为声
[
ˆ
其中，W N,K 为的 DFT 矩阵。定义 ˆ s = S DFT (1), 速，θ k 为第 k 个声源的入射角，e n 为接收噪声。令
ˆ
· · · , S DFT (N) ] T ，则式(12) 可以表示为
ω k = 2πfd cos θ k /c，可发现在无噪声时，式 (19) 的
2
ˆ
min ∥A i−1 q i − B i−1 p i ∥ , (14) 阵列接收信号模型与正弦和信号 S(n) 的形式相同。
q i ,p i
在接收信号包含噪声时，可以构建优化问题：
其 中， A i−1 = diag (ˆ s) R i−1 W N,K+1 ， B i−1 =
N−1 2
−1 ∑ P K−1 (z)
R i−1 W N,K ，R i−1 = (diag (W N,K+1 q i−1 )) 。为 min ˆ y n − , (20)
Q K (z)
H
了提高求解效率和精度，增加线性约束 q q i = 1， P K−1 ,Q K n=1
0
其中q 0 为初始化的q。式(14) 可表示为 其中，ˆy n 表示 y n 的 DFT。式 (20) 可通过多项式比
值方法求解，以获得待估计的幅度参数x k 和方位角

( + )
2
min
I − B i−1 B i−1 A i−1 q i
,
q i 参数θ k ，实现DOA估计。
H
s.t. q q i = 1. (15) 在多快拍情况下，接收信号仍服从多项式比值
0
模型的形式，假定各快拍方位角不变，各快拍的信号
通过拉格朗日乘子法求解式(15)，可构建方程组：
对应相同的分母多项式Q K ，即第 l 个快拍的接收信

(I − Q Q B Q Q A )R A q + λ(R ) q 0 = 0, 号的DFT可以表示为 [12]
 H H H −1
B
A
A
 H −1 R A q = 1, P K−1,l (z)
q (R A )
0 ˆ y n,l = , (21)
(16) Q K (z)
相应的优化函数为
其中，A = Q A R A ，B = Q B R B 表示对 A 和 B 进
L N−1 2
行 QR 分解。在 K 已知时，通过求解该方程组可以 min ∑ ∑ ˆ y n,l − P K−1,l (z) . (22)
Q K (z)
获得q 的估计值，由式(17)估计p，即 Q K, P K−1,l l=1 n=0
将其表示为矩阵形式：
H
H
p = (B B) −1 B Aq. (17)
2 H
min ∥A i−1 q i − B i−1 ˜ p i, ∥ s.t. q q i = 1, (23)
0
每次迭代后，通过获得的 p i 和 q i 根据式 (9) 和 ˜ p i, q i
T
T
T
式 (10) 进行信号重构，当重构数据和测量数据满 其中， ˜ p = [p , p , · · · , p , ]。方位角参数θ k 和幅度
1
2
L
足式 (18) 时或者迭代到达一定次数时，迭代终止。 参数x k,l 可表示为 [12]
( )
式 (18)为 −jc lg (z k )
cos θ k = real ,
N 2 2πfd
∑ P K−1 (z)
ˆ 2 (18) −1
S (n) − 6 σ , (1 − z
Q K (z) k z)P K−1,l (z) (24)
n=1 x k,l = −N .
(1 − z k )Q k (z)
2
其中，σ 为描述重构误差的参数，该参数基于噪声 z=z k
的先验知识进行设置。如果迭代结束后，仍然无法 2 基于FRI重构的宽带信号DOA估计
满足式 (18) 的迭代终止条件。则对 q 0 进行随机初
始化，再重新执行迭代求解式(16) 和式(17)。 2.1 宽带信号接收模型
式 (19) 中的阵列接收信号模型表示为矩阵
1.4 FRI 重构算法和DOA估计问题的联系
形式为
FRI重构算法可以在无网格情况下求解信号的
未知参数，避免了网格失配误差，且具有较高的分辨 y = Ax + e, (25)
T
率，因此将其应用于 DOA 估计问题具有较大潜力。 其中， 接收信号 y = [y 1 , · · · , y N ] ， 入射信号
T
T
在实际的 DOA 估计问题中，假设有 K 个远场平面 x = [x 1 , · · · , x K ] ，噪声信号 e = [e 1 , · · · , e N ] ，