Page 20 - 《应用声学》2025年第2期

280 2025 年 3 月

其描述了一种斜率为 ∆β 的线性棱态色散，进一步
3 沿着k z 方向的棱态
地，根据文献 [37]中讨论的结果，该棱态色散的拓扑
本文提出的周期模型结构 (图 1(a)) 在锯齿状 性质与质量项 ∆β 的符号有关，可以用赝自旋谷陈
数 C H = sgn(∆β) 这一拓扑指标来描述。当具有质
边界 (图 1(b)) 上的表面哈密顿量可以通过对紧束
缚近似下的体哈密顿量在布里渊区边界微扰展 量项 ∆β > 0 以及 ∆β < 0 参数两种域形成复合结
开 [36] 得到： 构时，它们之间的界面对应着赝自旋谷陈数突变的
质量畴壁。Jackiw-Rebbi机制 [23] 指出，一维系统的
H s = v s (σ x δk x + σ y δk z ) + jσ y ∆β, (1)
波函数越过零维质量畴壁时，波函数在边界处连续
√
其中，v s = 2t n a/(6s 0 h)，t n (s 0 )表示与层内(层间) 性要求会导致畴壁处出现零维的孤子解，即拓扑激
耦合强度相关的量，σ ( x, y, z) 是泡利矩阵。很明显， 发态。当该机制推广到我们的声学体系中时，可以
式(1)满足线性色散的狄拉克方程形式，∆β 充当了 推断，二维表面态的波函数越过一维质量畴壁时，同
类似于狄拉克方程中质量项的作用。当 ∆β = 0 时， 样也会出现一维拓扑激发态，表现为沿着 z 方向棱
式 (1) 具有二重简并的本征值解，对应于图 1(c) 中 分布的特殊的声学模式。
的表面狄拉克锥。当 ∆β ̸= 0 时，式 (1) 的本征解不 为了确定投影在 k z 方向上的棱态的色散特征，
再简并，相应的表面狄拉克锥会退简并到一个表面 如图 3(a) 中所示，考虑由图 1(d) 中所示的 A、B、C、
带隙 (图 2(a))。为了描述表面狄拉克锥再次投影到 D 四种域所构成一个半周期超胞来计算一维棱态
沿着 k z 方向的一维布里渊区上的物理过程，对哈密 投影能带，其中 A、B 域以及 C、D 域之间的二维锯
顿量做以下的替换： 齿状分界面 (黑色实线和黑色虚线) 相互接触，在
( )
∂
H s = H s δk x → −j , ∆β → ∆β(x) , (2) 超胞的中央形成了沿着 z 方向的一维分界棱。在
∂x
计算过程中仅在 z 方向边界保持弗罗奎特周期条
其中当 x < 0 时 ∆β(x) = −∆β，x > 0 时 ∆β(x) = 件，面内边界则都施加了平面波辐射条件以减少边
+∆β，可以解得相应的波函数为 界反射模式干扰。棱态投影能带结果如图 3(b) 所
( ) ( )
1 | − ∆β(x)x| 示，图中灰色以及蓝色区域分别表示存在带隙的体
Φ = exp − . (3)
−1 v s
态和表面态。从图中可以很明显地看到在频率为
根 据 微 扰 理 论， 从 谷 点 附 近 的 表 面 狄 拉 克 锥
3.1 ∼ 3.4 kHz 的带隙内存在一对类似量子自旋霍
(图1(c))投影而来的棱态有效哈密顿量可以表示为
尔效应中的螺旋状色散 [38] ，并且它们在 k z = π 时
= ⟨Φ|H z |Φ⟩ = ∆βδk z , (4) 线性交叉形成二重简并。通常来讲，螺旋交叉状的
H s H
3.6
A C
3.4 ł Ń
ᮠဋ/kHz 3.2 ŀ ń Ł
Dα=30O Dα=30O Ņ
Dβ=0.2 cm Dβ=-0.2 cm
B D 3.0
Dα=-30O Dα=-30O
y 2.8
Dβ=0.2 cm Dβ=-0.2 cm
0 1 2
z x k z ↼p⊳h↽
(a) ᝠካk z வՔ೪গઆॖᑟࣜᄊᡔᑊ (b) k z வՔ೪গઆॖᑟࣜѬ࣋

+
|P|
-
ŀ Ł ł Ń ń Ņ
(c) k z வՔ೪গઆॖᑟࣜѬ࣋

图 3 k z 方向的棱态投影能带以及本征场图
Fig. 3 Hinge projected band structure and eigen-field distributions in k z direction