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第 37 卷 第 5 期 陈文剑等： 起伏海面环境下水声信道特性及估计方法 725

′
∆x ∂p(r ) r n
b n = γ n , (10)
3 随机起伏海面的散射特性 4i ∂n ′
其中，a m 是入射声场；A mn 是 Hankel 函数且为 N
考虑一维随机起伏表面的几何模型 [9] ，如图 3
阶对称矩阵；r m 可以用单位向量 x 和 z 表示，即
所示。其中，θ in 为入射掠射角，θ s 为散射角，f(x)为
r m = x m x + f(x m )z，x m = (m − 1/2)∆x − L/2；
随机起伏表面高度的函数。
′ 2
γ m = γ(x m )，γ (x ) = 1 + [df(x )/dx ] 。
2
′
′
z 当满足远场条件时，Hankel可以表示为
′
n z/f↼x↽ H (1) (k|r − r |)
0
√
e
∼ 1/2 −iπ/4 (e ikr / r)e −ik s r (11)
x = (2/(πk)) ,
θ in
θ s
其中，k s = kr/r，r = |r|。
k in k s
结合以上公式，可以将散射声场表示为
( ) 0.5 ikr
图 3 一维随机起伏表面的几何模型 2 −iπ/4 e
p s (r) = − e √
Fig. 3 Geometrical model of one-dimensional ran- πk r
N
dom undulating surface ∑ (−ik s ·r n )
× e b n . (12)
利用提取的基于PM海浪谱的一维随机起伏海 n=1
面，采用 Kirchhoff近似法计算不同散射角度的散射 由于表面长度区间为 [−L/2, L/2]，|x| > L/2
的声波并未入射至表面，此时利用Thorsos等 [11] 提
强度，分析其散射特性。对于一维随机起伏表面的
出的锥形波，在入射场中应用高斯锥形函数来表征
声散射问题，可以利用 Helmholtz 积分表达式来求
入射声压。为了保证p inc (r)满足第 1/(kg sin θ in ) 阶
解散射声场 [10] 。总散射声场p(r)的表达式如下：
波动方程 (其中 kg sin θ in ≫ 1)，引入参数 ω(r)，于
∫
′
1 (1) ∂p(r )
′
′
p(r)=p inc (r)− H 0 (k|r−r |) dS , 是得到修正的入射波的声压表达式：
4i S ∂n ′
{
(5) p inc (r) = exp ik in r [1 + ω(r)]
}
(1)
其中，p inc (r) 是入射声场，S 是起伏表面，H 是零 2 2 (13)
0 − (x − z cot θ in ) /g ,
阶第一类Hankel函数，k 是波数，∂p(r )/∂n 为未知
′
′
2
2
2(x − z cot θ in ) /g − 1
的表面总声压的法向导数。 其 中， ω(r) = ； k in =
(kg sin θ in ) 2
当表面边界条件为绝对软边界，即p(r) = 0 时， k(cos θx + sin θz)；g 为锥形控制参量，g = L/4。
可以得到 对于表面长度为 L 的一维随机起伏界面，利用
∫
1 (1) ∂p (r ) Thorsos 等 [11] 的推导可以得到一维随机起伏界面
′
′
p inc (r) = H 0 (k |r − r |) dS . (6)
′
4i ∂n ′
S 的散射截面表达式：
当表面总长度为L时，将L分解为N 个子区间， ⟨ 2 ⟩
|p s (r)|
得到∆x = L/N，利用数值积分方法可以将公式(6) σ (θ in , θ s ) = [ ], (14)
√ 2
π 1 + 2 cot θ in
转化为以下形式： g 1 −
2 2 (kg sin θ in ) 2
N
∑
a m = A mn b n , m = 1, · · · , N, (7) 由此得到散射强度的表达式：
n=1
SS = 10 lg σ (θ in , θ s ) . (15)
其中，
由 Kirchhoff 近似法可求得基于 PM 海浪谱的
a m = p inc (r m ), (8)
一维随机起伏海面的面内散射强度。仿真计算均是
 先模拟 50 组基于 PM 海浪谱的一维随机起伏海面，
 H (1) (k |r m − r n |) , m ̸= n,
0
A mn = (9) 然后用 Kirchhoff近似法对散射强度进行求解，最后
 H (1) [(k∆x/2 e) γ m ] , m = n,
0 取均值而得到的，具有统计意义。仿真条件：声波频