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796 2018 年 9 月

极性相同且波形相似，而慢横波相对快横波时间上 三个参数之间的关系，发现之间的关系可以表示为
有一滞后，如图 2 所示。利用快慢横波波列的相似 δs { }
s 2 = s(θ) + 1 − tanh[8(θ/90 − 0.5)] , (4)
性以及它们之间的时间差，可以反演出地层的各向 2
异性。 其中，s(θ) 表示与快波方位夹角 θ 方位上的同向分
量慢度。将式 (4) 代入式 (3)，反演目标函数参数就

ঌഷฉ 能缩减到两个，在一定程度上提高了反演速度。本
௑ࣀ 文反演所用的都是两参数联合反演。
下面我们通过将对快慢横波波列与辅助波列
分别求取目标函数，也就是将式 (3) 分成单独的两

部分：主函数(式(5))和辅助函数 (式(6))，来考察两
ਥഷฉ
个单独反演目标函数以及二者之和，也就是综合函
图 2 快横波和慢横波波形示意图 数随各向异性参数的变化特性和规律。
N
Fig. 2 The diagram of the fast and slow shear waves ∑ ∫ { [
Ep(δs, θ, s 2 ) = SP n t − s 2 (m − n)d
为 了 使 联 合 反 演 方 法 对 快 横 波 方 位 敏 感， m,n=1 T
} 2
]
θ
将式 (1) 对 θ 求导，得到两个辅助波列 FP (t) 和 + δsz m − FP m (t) dt, (5)
θ
SP (t)，表示如下： N ∫
∑ { [
Ea(δs, θ, s 2 ) = SP θ t − s 2 (m − n)d
n
m,n=1 T

θ
FP (t) = − sin 2θ[XX(t) − Y Y (t)] ] } 2

 θ
 + δsz m − FP (t) dt. (6)
 m

+ cos 2θ[XY (t) + Y X(t)],

(2)
θ
SP (t) = sin 2θ[XX(t) − Y Y (t)] 3 数值算例反演结果





 − cos 2θ[XY (t) + Y X(t)].
为了对联合反演算法及主函数和辅助函数随
综合利用以上快慢横波波列和辅助波列，得到
各向异性参数的变化特性和规律进行考察，利用
联合反演方法综合目标函数：
有限差分算法数值模拟了快地层和慢地层中环向
N ∫
∑ { 各向异性 ani = 1% 和 ani = 25% 地层下的四分量
E(δs, θ, s 2 ) = SP n [t − s 2 (m − n)d
T
m,n=1 数据。在以下时域有限差分(Finite-difference time-
} 2
+ δsz m ] − FP m (t) dt domain, FDTD) 计算中，所用均为井孔 HTI 模型，
N ∫ 充液井孔半径 0.1 m，采用无分裂完全匹配层 (Per-
∑ {
θ
+ SP [t − s 2 (m − n)d fectly matched layer, PML)作为吸收边界。地层参
n
T
m,n=1
数如表1所示。
2
}
θ
+ δsz m ] − FP (t) dt, (3)
m
式(3)中，δs、θ 和s 2 分别表示快慢横波慢度差、快横 表 1 有限差分模拟中各向异性地层参数
波方位和慢横波慢度，m 和 n 表示接收器在阵列中 Table 1 The formation properties used in FDTD
的位置，N 为接收器个数，T 为弯曲波时窗，d 表示
快横波速度/ 慢横波速度/ ◦
接收器间隔，z m 表示第 m 个接收器与声源之间的 (m·s −1 ) (m·s −1 ) 大小/% 方位/( )
距离，FP m 和 SP n 分别表示快慢横波的第 m 和第 慢地层 1 1055 1044 1 171
θ
θ
n 道波形，FP 和SP 表示辅助波形的第 m 和第 n 慢地层 2 1279 1044 25 171
n
m
道波形。 快地层 1 2525 2500 1 171
式(3) 中参与三参数联合反演，计算量很大，耗
快地层 2 3062 2500 25 171
时较长，为了进一步减少计算量，Tang等 [1] 研究了