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频域β-warping变换的结果。从图中可以看出，虽然 参 考 文 献
β 值存在误差，但是频域β-warping变换算子依然可
以将第1号、2号简正波的互相关项变换为时延随声 [1] Bonnel J, Nicolas B, Mars J I, et al. Estimation of modal
源距离线性增大的脉冲信号；并且对于某一距离的 group velocities with a single receiver for geoacoustic in-
version in shallow water[J]. J. Acoust. Soc. Am., 2010,
接收信号，随着 β 值的增大，warping变换后第 1 号、
128(2): 719–727.
2 号简正波互相关项对应的脉冲时延也成比例地增 [2] Lopatka M, Touzé G L, Nicolas B, et al. Underwa-
大，与第3节中的理论分析结果一致。 ter broadband source localization based on modal filter-
图 16 为 β 分别取 1、1.23、1.5 时，以 48.9 km 处 ing and features extraction[J]. EURASIP J. Adv. Signal
Proc., 2010, 2010(8): 304103.
的信号为引导声源，获得的对所有接收信号的距离
[3] Bonnel J, Thode A M, Blackwell S B, et al. Range es-
估计结果。β 取1、1.23、1.5时，平均测距误差分别为 timation of bowhead whale (balaena mysticetus) calls in
3.62%、3.16%、2.76%。可以看出，虽然β 取值存在一 the arctic using a single hydrophone[J]. J. Acoust. Soc.
定的误差，但最终得到的不同 β 取值情况下的距离 Am., 2014, 136(1): 145–155.
[4] Zeng J, Chapman N R, Bonnel J. Inversion of seabed at-
估计值还是与真实距离符合得较好。由此可见，在
tenuation using time-warping of close range data[J]. J.
水平不变浅海波导中，当采用一个已知距离的引导 Acoust. Soc. Am., 2013, 134(5): EL394–EL399.
声源时，利用频域 β-warping 变换的被动测距方法 [5] Touzé G L, Nicolas B, Mars J I, et al. Matched represen-
tations and filters for guided waves[J]. IEEE Trans. Sign.
对波导不变量误差具有较好的宽容性，海上实验数
Process., 2009, 57(5): 1783–1795.
据分析结果进一步验证了上文理论分析的正确性、 [6] Niu H Q, Zhang R H, Li Z L. A modified warping operator
被动测距方法的有效性和可行性。 based on BDRM theory in homogeneous shallow water[J].
Sci. China-Phys. Mech. Astron., 2014, 57(3): 424–432.
6 结论 [7] Niu H Q, Zhang R H, Li Z L. Theoretical analysis of warp-
ing operators for non-ideal shallow water waveguides[J]. J.
Acoust. Soc. Am., 2014, 136(1): 53–65.
频域 β-warping 变换可将接收信号自相关函
[8] 王冬, 郭良浩, 刘建军, 等. 一种基于 warping 变换的浅海脉
数中简正波互相关部分，变为时域上时延随声源 冲声源被动测距方法 [J]. 物理学报, 2016, 65(10): 104302.
距离线性增大的脉冲序列。在实际应用中，估计 Wang Dong, Guo Lianghao, Liu Jianjun, et al. Passive
得到的波导不变量难免会存在一定的误差。本文 impulsive source range estimation based on warping op-
erator in shallow water[J]. Acta Phys. Sin., 2016, 65(10):
研究了波导不变量误差对频域 β-warping 变换及
104302.
被动测距结果的影响。理论推导和分析表明，如 [9] Qi Y B, Zhou S H, Ren Y, et al. Passive source range esti-
果估计得到的波导不变量值为真实值的 q 倍，并 mation with a single receiver in shallow water[J]. Chinese
Journal of Acoustics, 2015, 34(1): 1–14.
且 q 与信号带宽 B 和中心频率 f 0 之间的关系满足
[10] Qi Y B, Zhou S H, Zhang R H, et al. A waveguide-
|q − 1| B/(4f 0 ) ≪ 1，那么频域 β-warping 变换后， invariant-based warping operator and its application to
简正波互相关函数对应的脉冲时延也会变为波导 passive source range estimation[J]. J. Comput. Acoust.,
不变量取真实值时的q 倍。所以，在水平不变浅海波 2015, 23(1): 1550003.
[11] 戚聿波, 周士弘, 张仁和, 等. 一种基于 β-warping 变换算子的
导中利用一个已知距离的引导声源进行被动测距
被动声源距离估计方法 [J]. 物理学报, 2015, 64(7): 074301.
时，通过粗略的水体声速剖面参数获得波导不变量 Qi Yubo, Zhou Shihong, Zhang Renhe, et al. A pas-
的估计值，那么即使估计得到的波导不变量存在一 sive source ranging method using the waveguide-invariant-
定误差，仍能保证最终的测距结果与真实距离具有 warping operator[J]. Acta Phys. Sin., 2015, 64(7): 074301.
[12] 田玲爱, 刘福臣, 周士弘. 利用 Hough 变换提取波导不变
较好的一致性。水平不变浅海 Pekeris波导、弱负梯 量 [J]. 声学与电子工程, 2009(4): 22–24.
度波导和负跃层波导的数值仿真分析，以及一次浅 Tian Ling’ai, Liu Fuchen, Zhou Shihong. Extraction of
海实验数据处理分析结果验证了本文理论分析的 waveguide invariant by Hough transform[J]. Acoust. Elec.
Eng., 2009(4): 22–24.
正确性和所提浅海被动测距方法的有效性。
[13] Grachev G A. Theory of acoustic field invariants in layered
需要指出的是，本文的结论仅适用于水平不变 waveguides[J]. Acoustical Physics, 1993, 39(1): 33–35.
浅海波导，对于水平变化的海洋环境中波导不变量 [14] Shang E C, Wu J R, Zhao Z D. Relating waveguide in-
误差对频域 β-warping及被动测距结果有何影响或 variant and bottom reflection phase-shift parameter P in a
Pekeris waveguide[J]. J. Acoust. Soc. Am., 2012, 131(5):
如何影响，是本文后续进一步研究的方向之一。 3691–3697.