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第 38 卷 第 1 期 毕亚峰等： 基于变换声学的角反射器的设计 53

其中，± 分别对应 u < 0 与u > 0 的情况。在该映射
0 引言
下，虚空间 (u, v, w) 中蓝色的四边形区域被压缩至
后向反射器，是一种能将入射波按照入射方向 实空间中 (x, y, z) 的蓝色三角形区域。红色虚线边
进行反射的器件。由于它可以显著地增加散射截面 界则对应到实空间中的 x 轴。该映射的雅克比矩阵
和回波强度，所以有着广泛的应用。通常情况下，后 A为
 
向反射器表现为角反射器 [1−3] 的形式，通过两个互 1 0 0
 
相垂直的反射面将入射声 (电磁) 波多次反射，最终  
∂ (x, y, z)  b b 
实现出射声(电磁)波的反向传播。然而由于体积和 A = ∂ (u, v, w) =  0  . (2)


 a + b a + b
形状的限制，很多情况下角反射器难以实用，往往需  

0 0 1
要平面或者较为扁平的几何结构去实现类似的反
射效果，而变换声学 [4−8] 则为此提供了可能。变换 根据变换声学理论 [8] ，反射器的密度和模量为
声学将空间坐标的变换与器件的材料属性两者关 ρ = det (A) A −1 ) T A −1 ρ 0 ,
(
联起来，从而可以设计出许多新型声学器件，如隐身 (3)
κ = det (A) κ 0 ,
衣 [9−12] 、声学弯管 [13−15] 、透镜等等 [16−18] 。利用变
其中，ρ 0 和κ 0 分别为背景流体的密度和模量。将公
换理论设计的反射器也已出现 [19−23] ，但是这些器
式(2)中的雅克比矩阵A带入，可得
件大多参数极端，不均匀而且各向异性，因此难以实
 2b 
现。本文提出一种基于线性坐标映射的反射器，在 −1 0
 a + b 
这种映射下，反射器的参数变得均匀，仅仅需要各  
 a + b 
向异性的超材料即可实现。结合 Biot 流体理论 [24] ， ρ =  −1 0  ρ 0 ,
 b  (4)
这种反射器可以由周期层状流体构成。有限元仿真  b 


结果证明了该结构的有效性，对于不同频率的声波， 0 0 a + b
b
该反射器也具有较好的性能。这种基于变换声学的 κ = κ 0 ,
反射体更具有实用性，为超材料的具体应用带来了 a + b
该密度矩阵与模量即为实现声反射器所需的参数。
可能。
y
1 映射关系与变换声学 b
x
֓a O a
二 维 的 声 反 射 器 的 映 射 关 系 如 图 1 所 示。
图 1(a) 中，y = 0 界面为硬地面，在地面上放置 (a) ࠄቇᫎ
蓝色三角形的反射器。根据角反射器的原理 [1−3] ， v
两个互相垂直的反射面，在 45 范围内可以将入射 b u
◦
波按照原方向反射，因此，在图 1(b)中v < 0 的区域 ֓a O a
需要构建出一个直角空间，并将红色虚线设置为反
射边界。声波在该空间中的传播如黄色箭头所示，
入射波将被反射回相应的方向。声反射器实物所处
֓a
的空间为图1(a)，称为实空间；它所表现出的声学性 (b) ᘿቇᫎ
质应该与图 1(b)所示的空间一致，因此图1(b) 所处
图 1 声反射器的空间映射关系
的空间称为虚空间。
Fig. 1 The mapping rules of the acoustical
利用以下数学关系，可以将实空间与虚空间中
retrodirective reflector
的蓝色区域进行相互映射：

x = u, 2 单元与反射器模型



b
y = (±u + v + a), (1) 为了更清晰地说明声反射器的设计过程，此
 a + b


z = w, 处将其几何参数设定为 a = 160 cm，b = 20 cm。
