Page 102 - 应用声学2019年第2期

248 2019 年 3 月

式 (10)∼(13) 均可对 ζ 和 γ 积出解析表达式，式 (9) 形，图2 中Z (0,0,0,0) 为(0,0,0,0) 阶模态辐射阻抗，Z 0
将被转换为四个以 κ 和τ 为积分变量的二重积分之 为空气的特征阻抗，Z (0,0,0,0) /Z 0 为归一化的模态辐
√
和。然而，当κ和τ 趋于零时依然会造成积分中格林 射阻抗，k 为波数，r eq 为等效半径，r eq = 4ab/π。
函数分母趋于零，该积分存在奇异性，需做一次极坐 由图 2 可知，本方法算得的 (0,0,0,0) 阶模态辐射阻
标变换，令： 抗与矩形活塞声源辐射阻抗实部和虚部一致性很
κ = ρ cos θ, τ = ρ sin θ, (14) 好，说明本方法计算 (0,0,0,0) 阶模态辐射阻抗是正
确的。
变换后的式 (9) 被转换为极坐标下的二重积分，该
积分可直接使用 MATLAB内置的数值积分函数求 1.2
解，无需采用高斯求积或对模态阶次进行讨论。 1.0

1.3 MATLAB求解 0.8 Re(Piston)
Im(Piston)
第1.2 节所述过程可在MATLAB中完成，主要 Z (0,0,0,0) ⊳Z 0 0.6 Re(0,0,0,0)
Im(0,0,0,0)
有以下几步： 0.4

(1) 根据式 (2)∼(4)，在 MATLAB 中定义模态 0.2
振型函数ϕ mn (x, y)、ϕ pq (x 0 , y 0 )以及半空间格林函 0
0 5 10
数G (x, y, x 0 , y 0 )。 kr eq
(2) 将变量代换式 (7) 带入第 (1) 步定义的函
图 2 (0,0,0,0) 阶模态辐射阻抗验证
数，得到变量代换后的模态振型表达式和半空间格
Fig. 2 Radiation impedance validation of order
林函数表达式。
(0,0,0,0)
(3) 将变量代换后的模态振型和半空间格林函
2.2 高阶模态辐射阻抗验证
数表达式代入式(5)，即得到新的模态辐射阻抗表达
式 (9)，要对式 (9) 求解，需分别对式 (10)∼(13) 求定 由于高阶模态辐射阻抗难以通过仿真或实验
积分。 直接得到，因此本文将模态辐射阻抗计算方法代入
矩形法兰孔声传递损失计算中来。通过代入本文阻
(4) 在 MATLAB 中 采 用 int 函 数 对 式 (10)∼
(13) 中的变量 ζ 和 γ 求定积分，将式 (10)∼(13) 由 抗计算方法的 Superposition 法与 Sgard 等 [5] 、声学
四重积分转换为仅含变量 κ 和 τ 的二重积分，此步 有限元法以及实验 [13] 的对比，间接验证本方法的
在MATLAB中可积出解析表达式。 正确性。
(5) 降维后的式 (10)∼(13) 由于包含半空间格 矩形法兰孔的声传递率与其孔口模态辐射阻
林函数而存在奇异性，此时在 MATLAB 中根据 抗的关系为 [13]
∞ ∞ ( ) 2
式 (14) 进行极坐标变换，消除奇异积分，得到极坐 τ (θ i , ϕ i ) = ∑ ∑ ρ 0 c k mn
标下的积分表达式。 m=0 n=0 cos θ i Z f k f
2
′
(6) 最后利用 MATLAB积分函数 quad2d分别 2F mn
× 2 2
对降维和极坐标变换后的式(10)∼(13)求数值积分， N mn (AZ s + B + CZ + DZ s )
s
将式 (10)∼(13) 求解结果代入式 (9) 即可求得矩形 × Z mnmn , (15)
法兰孔孔口模态辐射阻抗。 式 (15) 中，Z mnmn 为孔口第 (m,n,m,n) 阶模态辐射
阻抗，该式已利用本文的结论之一：互模态辐射阻抗
2 计算结果验证 相比于自模态辐射阻抗在多数计算中可以忽略不
计的性质进行了简化，只计算了自模态辐射阻抗部
2.1 (0,0,0,0)阶模态辐射阻抗验证
分。关于孔口模态辐射阻抗性质的分析将在本文后
矩形法兰孔孔口的(0,0,0,0)阶模态辐射阻抗就
续小节中加以论述。
是矩形活塞声源的辐射阻抗，矩形活塞声源辐射阻
声传递损失与声传递率的关系为 [13]
抗表达式和相关计算数据可在文献 [12] 中查阅。如
图 2 所示，法兰孔孔口尺寸为长宽均为 1 m 的正方 TL = −10 lg τ, (16)