Page 101 - 应用声学2019年第2期

第 38 卷 第 2 期 李家柱等： 矩形法兰孔孔口模态辐射阻抗的计算与分析 247

1.2 积分变换 x = (κ + ς)/2, x 0 = (ς − κ)/2,
式(5)是以 x 0 、y 0 、x、y 为积分变量的四重积分， y = (τ + γ)/2, y 0 = (γ − τ)/2. (7)
积分区间分别为(−a, a)、(−b, b)、(−a, a)、(−b, b)，在
雅可比矩阵为
x = x 0 且 y = y 0 处，积分函数趋于无穷大，无法直

接计算。为求解该积分，采用换元法，令 ∂x ∂x 1 1

∂κ ∂ς 2 2 1
κ = x − x 0 , ς = x + x 0 , J x = = = 2 . (8)
∂x 0 ∂x 0 1 1
τ = y − y 0 , γ = y + y 0 , (6) ∂κ ∂ς − 2 2
可得 同理，J y = 1/2，此时式(5)变换为

( ) ( )
κ + ς ς − κ
( ) mπ + a pπ + a
∫ 2a ∫ 2a−κ ∫ 0 ∫ 2a+κ
jk f Z f 2 2
Z mnpq = + cos cos dς
16ab 2a 2a
0 −(2a−κ) −2a −(2a+κ)
( ) ( )
τ + γ γ − τ
( ) nπ + b qπ + b √
2
∫ 2b ∫ 2b−τ ∫ 0 ∫ 2b+τ 2 2 e −jk 0 κ +τ 2
· + cos cos dγ √ 2 2 dκdτ
0 −(2b−τ) −2b −(2b+τ) 2b 2b 2π κ + τ
jk f Z f
= (I 1,mnpq + I 2,mnpq + I 3,mnpq + I 4,mnpq ) , (9)
16ab
式(9)中：
( ) ( )
κ + ς ς − κ
mπ + a pπ + a
2b 2a 2a−κ 2 2
∫ ∫ ∫
I 1,mnpq = cos cos dς
2a 2a
0 0 −(2a−κ)
( ) ( )
τ + γ γ − τ
nπ + b qπ + b √
2b−τ 2 2 e −jk 0 κ +τ 2
2
∫
× cos cos dγ √ dκdτ, (10)
2
−(2b−τ) 2b 2b 2π κ + τ 2
( ) ( )
κ + ς ς − κ
mπ + a pπ + a
0 2a 2a−κ 2 2
∫ ∫ ∫
I 2,mnpq = cos cos dς
−2b 0 −(2a−κ) 2a 2a
( ) ( )
τ + γ γ − τ
nπ + b qπ + b √
∫ 2b+τ 2 2 e −jk 0 κ +τ 2
2
× cos cos dγ √ dκdτ, (11)
2
−(2b+τ) 2b 2b 2π κ + τ 2
( ) ( )
κ + ς ς − κ
mπ + a pπ + a
∫ 2b ∫ 0 ∫ 2a+κ 2 2
I 3,mnpq = cos cos dς
0 −2a −(2a+κ) 2a 2a
( ) ( )
τ + γ γ − τ
nπ + b qπ + b √
2b−τ 2 2 e −jk 0 κ +τ 2
∫
2
× cos cos dγ √ dκdτ, (12)
2b 2b 2π κ + τ 2
2
−(2b−τ)
( ) ( )
κ + ς ς − κ
mπ + a pπ + a
0 0 2a+κ 2 2
∫ ∫ ∫
I 4,mnpq = cos cos dς
−2b −2a −(2a+κ) 2a 2a
( ) ( )
τ + γ γ − τ
nπ + b qπ + b √
2
∫
2b+τ 2 2 e −jk 0 κ +τ 2
× cos cos dγ √ dκdτ, (13)
2
−(2b+τ) 2b 2b 2π κ + τ 2