Page 100 - 应用声学2019年第2期

246 2019 年 3 月

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0 引言 a
y
孔口模态辐射阻抗的计算是矩形法兰孔声传 x y
z x b
递损失 (Transmission loss, TL) 计算的基础，是开
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展大尺寸百叶窗隔声量计算的关键环节。大尺寸百
叶窗结构在建筑物外立面、暖通系统以及高铁减载
式声屏障等领域应用广泛。矩形法兰孔孔口模态辐 图 1 矩形法兰孔示意图
射阻抗表达式是包含半空间格林函数和两组模态 Fig. 1 Schematic diagram of flanged rectangular aperture
振型的四重积分，该积分存在奇异点，现有的高阶 为空气薄膜，由于受孔口约束，空气薄膜的四边仅有

积分算法和计算软件无法直接求解 [1] 。对于这类问 图 1 所示的 z 向平动自由度，其振动模态对应孔口
题，多数学者通过坐标变换将积分降为三重或二重 截面模态。空气薄膜各阶振动模态对应的辐射阻抗
积分，然后采用高斯求积来求解 [2−5] 。这种方法实 即为矩形法兰孔孔口模态辐射阻抗，其表达式为 [5]
现了积分的精确求解，但在积分变换后，表达式需根
Z mnpq
据相应的阶次进行讨论，且高斯求积方法虽较成熟， ∫ ∫
= jk f Z f ϕ mn (x, y)G (x, y, x 0 , y 0 )
但并非 MATLAB 等软件的内置函数，仍需编写高 S S S
斯求积程序。Sha 等 [1] 则在将四重积分降为二重积 × ϕ pq (x 0 , y 0 ) dS (M 0 ) dS (M) , (1)
分后，将结构划分为网格，利用边界条件、波数近似
式(1) 中，j为虚数单位，k f 和Z f 分别为波数和声传
和傅里叶变换等方法来加速求解模态辐射阻抗，该
播介质的特征阻抗，本文以空气为声传播介质，则
方法需根据结构的尺寸、波数等参数改变网格大小，
Z f 为空气的特征阻抗，ϕ mn (x, y) 和 ϕ pq (x 0 , y 0 ) 分
计算过程较复杂且计算速度不够理想。Li 等 [6−7] 、
别为空气薄膜的(m, n)和(p, q)阶模态的振型，表达
沈苏等 [8] 和 Leppington 等 [9] 等通过坐标变换、参
式分别为
数讨论等方法将这类积分降为一重积分，简化了
ϕ mn (x, y)
积分最终的求解表达式并提高了计算速度。Davy [ ] [ ]
mπ (x + a) nπ (y + b)
等 [10] 在将四重积分降为一重积分的基础上，通过 = cos cos , (2)
2a 2b
改写最终表达式消除了奇异积分的影响。然而，这
ϕ qp (x 0 , y 0 )
类将四重积分降为一重积分的方法推导过程复杂
[ ] [ ]
且需进行参数讨论，如果初始的模态辐射阻抗表达 = cos pπ (x 0 + a) cos qπ (y 0 + b) , (3)
2a 2b
式与文献中的表达式有差异，就需重新推导，对理论
G(x, y, x 0 , y 0 )为半空间格林函数，其表达式为
知识要求较高且工作量大。 √
2
e −jk 0 (x−x 0 ) +(y−y 0 ) 2
鉴于此，本文在吸收以上学者成果的基础上， G (x, y, x 0 , y 0 ) = √ . (4)
2 2
通过坐标变换将四重积分转换为二重积分并消除 2π (x − x 0 ) + (y − y 0 )
奇异积分，且将该过程直接采用 MATLAB 的内置 将 式 (2)∼(4) 以 及 S = 4ab 代 入 式 (1) 可 得
函数来实现。在实现四重积分求解的基础上，通过 (m, n, p, q)阶模态辐射阻抗表达式为
详细计算和对比，验证方法的正确性，最后分析矩形
Z mnpq
法兰孔孔口模态辐射阻抗的性质。 ∫ b ∫ a ∫ b ∫ a [ ]
jk f Z f mπ (x + a)
= cos
4ab −b −a −b −a 2a
1 矩形法兰孔孔口模态辐射阻抗计算 [ ] √
2
nπ (y + b) e −jk 0 (x−x 0 ) +(y−y 0 ) 2
× cos √
1.1 矩形法兰孔孔口模态辐射阻抗表达式 2b 2π (x − x 0 ) + (y − y 0 ) 2
2
声源表面的声压与振速的比值称为声源的辐 [ pπ (x 0 + a) ] [ qπ (y 0 + b) ]
× cos cos
射阻抗 [11] 。图 1 为矩形法兰孔示意图，该孔孔口处 2a 2b
为无限大壁面形成的半空间，孔口的振动单元可视 × dx 0 dy 0 dxdy. (5)