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298 2019 年 5 月

这样就将求解反射波激发的井内响应问题转化为 沿 x 方向的偶极源 D，其在井外 O 1 处的辐射位移
求解井外虚源激发井内响应问题，虚源由三个相互 u i (i = R, θ, φ) 由式 (8) 给出。单极源与集中力之
正交的集中力构成。注意到在图 6 中，在反射波等 间的互易关系为 [9]
效为虚源的辐射波后，反射界面也不再存在了。 −2
u R F R + u θ F θ + u θ F φ = Dα a, (15)
f
2.2 利用互易性获得井中反射波场的响应 其中，a = −ω u 是 O 2 处沿 x 方向的加速度。将
2 ′
为了获得井外集中力激发的井内响应，利用互 式 (8) 和式 (12) 代入式 (15)，获得反射波激发的井
易定理求解。Wang 等 [9] 建立了多极声源以及集中 内沿x方向井内位移，

力源在流固分层介质中的互易关系。首先求井外集 u = u SH + u SV + u P , (16)
中力激发的井内声压，如图7所示。
其中，
z P 0 R 0 r 0 T(ω) iωL/β
u SH = e G SH F SH [k S (θ 1 ), ω]
Lρβ 2
2
× F SH [k S (θ 2 ), ω] sin φ,
O 
R F R
θ 2 P 0 R 0 r 0 T(ω)
O 2 F ϕ F θ u SV = e iωL/β G SV F SV [k S (θ 1 ), ω]
Lρβ 2
θ 1
y 2
ϕ × F SV [k S (θ 2 ), ω] cos φ,
r
x P 0 R 0 r 0 T(ω) iωL/α
u P = e G P F P [k P (θ 1 ), ω]
Lρβ 2
2
× F P [k P (θ 2 ), ω] cos φ.
图 7 井中接收声压信号示意图
z
Fig. 7 The reception of pressure in the borehole
为了获得井中 O 2 处的声压，在 O 2 处放置一个 O 
R F R
θ 2
单极源膨胀点源，其在井外远场 O 1 处的辐射位移 O 2 F ϕ F θ
θ 1
u i (i = R, θ, φ) 由式 (7) 给出。单极源与集中力之
y
间的互易关系为 [9] ϕ r
x
u R F R + u θ F θ + u θ F φ = −V 0 G(ω)p. (13)

将式 (7) 和式 (12) 代入式 (13)，得到反射波激
发的井内声压p， 图 8 井中接收位移信号示意图
p = p SV + p P , (14) Fig. 8 The reception of displacement in the borehole

其中， 为了验证渐近解的准确性，采用三维有限差分

p P = − iωP 0 R 0 r 0 T(ω)F P [k P (θ 1 ), ω] 模拟声波远探测中反射波激发的声压与位移，如
◦
e iωL/α 图 9 所示，反射体距离声源3 m，倾角为 15 ，计算参
× M P [k P (θ 2 ), ω]G P cos φ, 数在表 1 给出，声源的中心频率为 3 kHz，声源为偶
Lα
p SV = − iωP 0 R 0 r 0 T(ω)F SV [k S (θ 1 ), ω] 极源并可以沿井轴旋转。

e iωL/β 当偶极源方向平行于反射界面，接收沿 x 方向
× M SV [k S (θ 2 ), ω]G SV cos φ,
Lβ 的位移，采用渐近解与数值解的对比结果如图 10所
L 是波传播的总距离，θ 1 是辐射波传播方向相对于 示。从图 10 中可以看出，渐近解模拟的反射 SH 波
井轴的倾角，θ 2 是反射波传播方向相对于井轴的 与有限差分吻合较好，当偶极源方向平行于反射体
倾角。 走向时，只有 SH 波的位移且 SH 波位移达到最大，
类似地，如图 8 所示，为获得井外集中力激发 除此之外，全波中最先达到的是弯曲波，幅度在全波
的沿 x 方向井内位移，在接收位置 O 2 处放置一个 中最大。