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第 38 卷 第 3 期 许家旗等： 基于鞍点法与互易性的远探测波场模拟 295

R 是辐射波传播的距离，φ 是方位角，θ 是辐射波相 其中，ϕ d 是直达波的位移势，ϕ r 是井内反射波的位
对于井轴的倾角。声源用 V 0 G(t)来描述，其中 V 0 是 移势，∇是柱坐标系下的拉普拉斯算子。
体积变化量，G(t) 是声源的时间函数。在本研究里， 地层中的位移可表示为
傅里叶变换表达如下：
u s = ∇ϕ s + ∇ × (χ˜z) + ∇ × ∇ × (Γ˜z), (3)
∫
+∞
G(ω) = G(t) exp(iωt)dt. (1)
其中，ϕ s 是地层 P 波位移势函数，χ 是地层 SH 波位
−∞
流体中位移可表示为 移势函数，Γ是地层SV波位移势函数。
u f = ∇(ϕ d + ϕ r ), (2) 井内的位移势函数可表示为 [17]

∫ −∞ ( ) n
(n) −V 0 G(ω) r 0 f ikz
ϕ (r, φ, z, ω) = ε n K n (fr)e cos nφdk,
d 2
4π 2
−∞
∫
−V 0 G(ω) −∞ ( r 0 f ) n (n) ikz
(n)
ϕ (r, φ, z, ω) = A (k, ω)I n (fr)e cos nφdk. (4)
r 2
4π 2
−∞
井外的位移势函数可表示为
∫
−V 0 G(ω) −∞ ( r 0 f ) n (n) ikz
(n)
ϕ (r, φ, z, ω) = B (k, ω)K n (pr)e cos nφdk,
s 2
4π 2
−∞
χ (n=0) (r, φ, z, ω) = 0,
∫
−V 0 G(ω) −∞ r 0 f (1) ikz
(n=1)
χ (r, φ, z, ω) = C (k, ω)K 1 (sr)e sin φdk,
4π 2 2
−∞
∫ −∞ ( )
−V 0 G(ω) r 0 f n (n) ikz
(n)
Γ (r, φ, z, ω) = D (k, ω)K n (sr)e cos nφdk. (5)
4π 2 2
−∞
2
2
2
2
2
2
其 中， f 2 = k − ω /α ， p 2 = k − ω /α ， 的边界条件来获得 [18] 。
f
2
2
2
2
s = k − ω /β 。上标n = 0代表单极源，n = 1 代
1.1 最速积分法获得远场辐射场的渐近解
表偶极源；I n 和 K n 分别是第一类和第二类贝塞尔
函数；ε n 是纽曼因子，当n = 0 时 ε n = 1，其余情况 地层中的势函数涉及到复杂的波数域积分，传
ε n = 2；r 0 是偶极源的半径；k、f、p 和 s 分别是轴向 统的计算方法是采用实轴积分方法进行波数域积
波数、流体径向波数、纵波径向波数、横波径向波数； 分的计算 [19] ，该方法计算较为繁琐。当反射界面离
α f 、α 和 β 分别是流体声速、地层的纵波与横波波 井孔位置较远时，可以采用最速下降积分法获得井
速。系数 A (n) 、B (n) 、C (1) 和 D (n) 可以通过井壁上 孔中声源远场辐射场的渐近表达式 [20] ：
−V 0 G(ω) r 0 f ) n (n) iωR/α
(
(n)
ϕ s (r, φ, z, ω) = B (k P , ω)e cos nφ, n = 0, 1,
4πR 2
(
−V 0 G(ω) r 0 f ) (1) iωR/β
(n=1)
χ (r, φ, z, ω) = C (k S , ω)e sin φ,
4πR 2
(
−V 0 G(ω) r 0 f ) n (n) iωR/β
(n)
Γ (r, φ, z, ω) = D (k S , ω)e cos nφ, n = 0, 1, (6)
4πR 2
√ ω ω
2
2
其中，R = r + z ，k P = cos θ，k S = cos θ， 行比较，计算采用的参数由表1给出。地层分别为慢
α β
cos θ = z/R。θ 是辐射波相对于井孔的辐射倾角。 速地层和快速地层 2，井孔半径为 0.1 m，井外观测
点的位置为 r = 5 m, z = 1 m, φ = 0 ，声源为中心
◦
1.2 最速积分法的渐近解与实轴积分法的比较 频率 3 kHz、半带宽为 2 kHz 的余弦包络脉冲函数。
为了验证远场辐射波的渐近解的准确性，将采 图 3 给出了井外地层为快速地层时渐近解与实轴
用式 (6) 得到的渐近结果与实轴积分计算的结果进 积分精确解的对比结果，图4给出了井外地层为慢速