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第 38 卷 第 3 期 许家旗等： 基于鞍点法与互易性的远探测波场模拟 297

2
−ρ f ω V 0 G(ω)r 0 cos φ iωR/α 其中，G SH 、G SV 和 G P 分别是 SH 波、SV 波和 P 波
u P = F P (k P , ω) e e R ,
4π Rρα 2 的反射系数。反射波 u φ 、u θ 和 u R 的偏振方向如
2
−ρ f ω V 0 G(ω)r 0 sin φ iωR/β 图 5所示。
u SH = F SH (k S , ω) e e φ ,
4π Rρβ 2
从界面反射回来的波由井中的接收器接收，在
2
−ρ f ω V 0 G(ω)r 0 cos φ iωR/β
u SV = F SV (k S , ω) e e θ , 远探测的声波频率范围内，井孔的存在对波场的影
4π Rρβ 2 [12]
(8) 响不可忽略。采用 Schoenberg 理论 计算井内的
波场比较复杂，在本文中，在已知井内辐射场的基础
其中，
上，利用互易定理求解反射波在井内激发的位移以
fB (1) (k P , ω)
F P (k P , ω) = iρα, 及声压。
2ρ f ω
fC (1) (k S , ω) 2.1 反射波场的等效虚源
F SH (k S , ω) = − iρβ sin θ,
2ρ f ω 无限大均匀弹性介质中，集中力在该力的作用
fD (1) (k S , ω) 线上的位置激发且只激发出球面纵波 [21] ，
F SV (k S , ω) = − ρ sin θ。 1
2ρ f e iωr/α (10)
u c = F(ω)e,
4πRρα 2
2 反射场的接收 其中，F(ω) 为集中力的大小，e 为集中力的方向，是
观测位置与集中力之间的距离。在垂直于该力方向
下面研究声源为偶极源时，井内接收到来自井 并经过其作用点的直线上集中力激发且只激发出
外界面的反射波场。由式 (8) 可以看出，井内偶极 球面横波u s ，
1
源的远场辐射波具有球面的形式，当遇到界面发生 u s = e iωr/β F(ω)e. (11)
4πRρβ 2
反射。当反射界面的尺寸远大于波长时，可以将界
将反射波式 (9) 代入式 (10) 和式 (11)，可以得
面当成一个无限大平面。当反射界面距离声源较远
到与反射波等效的集中力源：
时，可以将球面波入射可以视为平面波入射，球面波
F R = P 0 R 0 r 0 T(ω)4πF P (k P , ω)G P cos φe R ,
反射系数可以用平面波反射系数代替 [20] ，反射波可
以写作 F φ = P 0 R 0 r 0 T(ω)4πF SH (k S , ω)G SH sin φe φ ,

sin φ iωR/β F θ = P 0 R 0 r 0 T(ω)4πF SV (k S , ω)G SV cos φe θ ,
u φ = P 0 R 0 r 0 T(ω)F SH (k S , ω)G SH 2 e e φ ,
Rρβ (12)
cos φ iωR/β
u θ = P 0 R 0 r 0 T(ω)F SV (k S , ω)G SV 2 e e θ , 式 (12) 中，P 0 R 0 表示在距离声源 R 0 的压强为 P 0 ，
Rρβ [22]
cos φ iωR/α T(ω) 为声压源的频谱函数 。如图 6 所示，等效
u R = P 0 R 0 r 0 T(ω)F P (k P , ω)G P 2 e e R , 集中力 F R 、F φ 和F θ 作用的位置与声源关于反射界
Rρα
(9) 面对称，其中 F R 沿反射 P 波的偏振方向，F φ 沿反
射 SH 波的偏振方向，F θ 沿反射 SV 波的偏振方向。
z
z Ԧ࠱ႍ᭧

u R
O 1
θ 2
F R
u ϕ u R
O 2 θ 2 u ϕ
u θ F ϕ
θ 1 O 2 u θ F θ
θ 1
Ϧౝູ y y
Ԧ࠱ႍ᭧ Ϧౝູ
ϕ r ϕ r
x x
图 5 井外存在反射体时的反射波示意图 图 6 反射波的等效集中力
Fig. 5 The reflected wave from the reflector out- Fig. 6 The concentrated force equivalent to the
side the borehole reflected wave