Page 138 - 应用声学2019年第4期

598 2019 年 7 月

90O sin x
1.0 (11)
120O 60O Ψ (x) = ,
0.8 x
0.6 其中，x = k∆d，∆d 为两个阵元之间的距离。假设
150O 30O
0.4
空间均匀噪声场中 M 元线列阵的噪声协方差矩阵
0.2
′
′
180O 为ρ o ，其第(m, m )(即第m行、m 列)个元素为
0O
-180O sin x sin (k|m − m |d)
′
ρ m,m = = . (12)
′
x k|m − m |d
′
-150O -30O
在球坐标系中求解所得的球贝塞尔函数，与
sinc 函数有密切关系，第 n 阶球贝塞尔函数可表示
-120O -60O
-90O [11]
为
( ) n
图 2 质点振速传感器接收信号的空间响应 n 1 d sin x
j (x) = (−x) . (13)
n
Fig. 2 Spatial response of a particle velocity sensor x dx x
当n = 0, 1, 2时，可得
1.2 波束形成
sin x
令w 为波束形成的加权向量，波束响应一般可 j (x) = , (14)
0
x
定义为 sin x cos x
j (x) = 2 − , (15)
1
H
B (θ, ϕ) = w (θ 0 , ϕ 0 ) P (θ, ϕ) , (6) ( x ) x
3 sin x 3 cos x
j (x) = − 1 − . (16)
其中，上标 “H” 表示复共轭转置，(θ 0 , ϕ 0 ) 为波束的 2 x 2 x x 2
期望方向。对于常规波束形成(Conventional beam- 可见，两个无指向性阵元的噪声空间相关系数
forming, CBF)，其归一化的加权向量定义为 是第 0 阶的球贝塞尔函数。对于沿 z 轴方向 (纵向)
P (θ 0 , ϕ 0 ) 的线列阵而言，各向同性噪声场中两个沿 z 轴方向
w CBF (θ 0 , ϕ 0 ) = . (7)
H
P (θ 0 , ϕ 0 ) P (θ 0 , ϕ 0 ) [6]
的质点振速传感器之间的噪声相关系数为
对于传统 MVDR 波束形成，其最小化噪声输 [ j (x) ]
出的无失真响应约束为 [8] Ψ zz (x) = 1 x − j (x) cos (x sin ϕ) . (17)
2

H
◦
 min w ρw, 取水平方位角 ϕ = 0 ，并将式(15) 和式 (16) 代
(8)
subject to w P (θ 0 , ϕ 0 ) = 1,
 H 入式(17)，可得
( )
其中，ρ 为噪声协方差矩阵，易得 MVDR 波束形成 2 sin x 2 cos x
Ψ zz (x) = 1 − 2 + 2 . (18)
的最优加权为 x x x
ρ −1 P (θ 0 , ϕ 0 ) 当 x → 0 时，Ψ zz → 1/3，因此归一化的噪声相
w MVDR = . (9)
H
P (θ 0 , ϕ 0 )ρ −1 P (θ 0 , ϕ 0 ) 关系数为
[( ) ]
空间均匀噪声场中的阵列指向性因子 (Direc- 2 sin x 2 cos x
Ψ zz (x) = 3 1 − + . (19)
tivity factor, DF)可表示为 x 2 x x 2
2 图 3 给出了 j 、j 、j 和归一化的空间相关函数
|B (θ 0 , ϕ 0 ) | 0 1 2
DF = ∫ 2π ∫ π
1 2 Ψ zz 随 d/λ 值变化的曲线，其中 d/λ = x/2π。声压
|B (θ, ϕ) | sin θdθdϕ
4π 传感器对应的曲线 (即 j ) 在 d/λ = 0.5 处为第一个
0 0 0
H 2
|w P (θ 0 , ϕ 0 ) | 零点，即当采用常规波束形成时，声压传感器直线阵
= . (10)
H
w ρw
的阵元间距应为波长的二分之一才能达到理想的
波束形成效果。而对于质点振速传感器对应的相关
1.3 噪声协方差矩阵 曲线(即3 · (j /x − j ))的第一个零点出现在 d/λ =
2
1
在三维各向同性空间均匀噪声场中，两个无指 1/3 处，但是曲线呈现大幅度振荡到 d/λ = 2 处，这
向性阵元之间的噪声相关系数是一个关于阵元间 说明如果使用质点振速传感器，按照常规方式组成
距的sinc函数 [5] ，即 端射线列阵，阵元间距需要增大到 2λ 左右，即阵长