Page 40 - 《应用声学》2019年第6期

942 2019 年 11 月

会模型并不能符合实际。基本模型考虑了激波波阵 df i = 2(y − y li ),
面在靶面传播为圆形的传播特性，但基本模型中假 dy
df i 2
设激波波阵面是匀速传播的，这与实际测量的激波 = −2v l0 (t li + t l0 ) ,
dv l0
波阵面传播速度规律不符。双视速度模型既考虑了
df i = −2v (t li + t l0 ),
2
激波波阵面的圆形传播规律，也考虑了传播速度随 dt l0 l0
着传播距离的增加逐渐减小的规律。 dg i = 2(x − x ri + v x (t r0 + t ri )),
dx
3 模型解算方法 dg i = 2(y − y ri ),
dy

采用最小二乘法对声学靶定位的双视速度模 dg i = −2v r0 (t ri + t r0 ) ,
2
dv r0
型进行求解，下面推导具体的迭代公式。记
dg i 2
= −2v (t ri + t r0 ), i = 1, 2, · · · 12.
r0
2
f i =(x − x li + v x (t l0 + t li )) + (y − y li ) 2 dt r0
记 b = −f(x 0 )，A = df(x 0 ) ，X = x − x 0 ，
T
2
2
− v (t li + t l0 ) , i = 1, 2, · · · , 12, (4)
l0
则：
2
g i =(x − x ri + v x (t r0 + t ri )) + (y − y ri ) 2
2
2
− v (t ri + t r0 ) , i = 1, 2, · · · , 12, (5) AX = b, (8)
r0
T
T
5
设 f : S ⊂ R → R , n = 24，其中，f = (f 1 , f 2 , · · · , 进而有，x 1 = x 0 + (A A) −1 A b。
n
T
f 12 , g 1 , g 2 , · · · , g 12 ) 。求解双视速度模型 (3) 等价 一般的，最小二乘迭代公式如下：
T
T
于求解如下非线性最小二乘问题： x k+1 =x k + (A A k ) −1 A b k , k = 0, 1, 2, · · · (9)
k
k
1 T
min f(x) f(x). (6)
x∈S 2 4 仿真分析
利用 Taylor 级数展开将非线性问题转化为线
4.1 视速度传播函数
0
0
0
0
0
0
性问题，在x 0 = (x , y , v , v , t , t )处展开得
l0 r0 l0 r0
下面以某型弹丸为例进行分析。根据弹丸激波
T
f(x 0 ) + df(x 0 ) (x − x 0 ) = 0, (7)
视速度传播曲线进行拟合，得到激波传播距离关于
式(7)中， 视速度的函数如下：
( )
  34 34 34
df 1 df 1 df 1 df 1
0 0 d = − 1 + ln , (10)
 dx dy dv l0 dt l0  v − 375 375 v − 375
 
 
 df 2 df 2 df 2 df 2  进而，可得激波传播距离关于时间的函数如下：
 0 0 
dx dy dv l0 dt l0 34
 
  d = 375t + ln(1 + 375t), (11)
 
 . . . . . 375
 . . . . . . . . . . . 
.
. 
  根据式 (11)，已知着靶点到传感器的距离后即可得
 
df n df n df n df n
 0 0  到对应的时间。
 dx 
df(x 0 ) =  dy dv l0 dt l0 
  下面，分别分析基本模型和双视速度模型的精
 
dg 1 dg 1 dg 1 dg 1
 0 0  度，计算时取传感器的坐标精度为 1 mm，时延精度
dx dy
 
 dv r0 dt r0 
为5 µs。
 
 dg 2 dg 2 dg 2 dg 2 
 0 0 
dx dy dv r0 4.2 均匀分布着靶点时的误差
 
 dt r0 
 . . . . .
 . . . . . . . . . . . 
.
. 
  如图4所示，在10 m × 10 m的靶幅内均匀布置
 
dg n dg n dg n dg n
0 0 121 个节点，在每个节点处计算 1000 次后计算均方
dx dy dv r0 dt r0
x 0
根作为该节点的误差。
是Jacobi矩阵，
基本模型和双视速度模型的水平误差曲面图
df i
= 2(x − x li + v x (t 0 + t li )), 如图5所示。
dx