Page 8 - 《应用声学》2019年第6期

910 2019 年 11 月

下条件：对任意给定环数 P，存在一组或者多组 化求解补偿滤波器的方法被提出 [23]
p
H (ω, φ i )可使得式(10)成立： l
l ¯ (−j) J l (kr sin φ i )
H l (ω, φ i ) = 2 , (16)
P ∥J l (kr sin φ i )∥ + α
∑ l p
j J l (kr p sin φ i )H (ω, φ i ) = 1,
l 式(16) 中，α 为吉洪诺夫正则化系数，正则化的引入
p=1
提升了 CHB 的稳健性，但牺牲了波束指向性。增大
ω ∈ [ω L , ω H ], l ∈ [−L p , L p ], (10)
正则化系数可以获得更加稳定的波束形成器。
这 里 ω L 至 ω H 为 设 计 补 偿 滤 波 器 的 频 率 范 围。
2.2 多环阵最小模补偿滤波器求解
p
式 (10) 中的 H (ω, φ i ) 在环数 P = 1 时有唯一确
l 多环的引入，松弛了式 (10) 对应的约束条件，
定解，在P > 1时有无穷个可行解。
使得补偿滤波器由 UCA 的唯一解变为 UCCA 的无
考虑均匀离散采样，第 p 环 CH 分解最高阶数
穷个解。可以从这无穷个解中挑选出最鲁棒的解。
L p ，并假设 L 1 = L 2 = · · · = L p = L，理想波束
与阵元域的加权系数的特性类似，最鲁棒解对应的
近似为
补偿滤波器趋向于具有最小的模值 [26] 。最小模补
B CHB (ω, θ) 偿滤波器可以通过求解如下最优化问题获得：
L P
∑ ∑ p 2 H
˜
jlθ
= {C l (kr p , θ i , φ i )H (ω, φ i )}e . (11) min ∥H l (ω, φ i )∥ s.t. J l (ω, φ i ) H l (ω, φ i )=1,
l
l=−L p=1 (17)
将式(11)写成向量形式得 1 2 P T
H l (ω, φ i )=[H (ω, φ i ), H (ω, φ i ), · · · , H (ω, φ i )]
l
l
l
T
˜
B CHB (ω, θ) = C c (ω, θ i , φ i ) A(θ), (12)
为各环补偿滤波器的向量形式，
˜
这里 C c (ω, θ i , φ i ) ∈ C (2L+1)×1 为补偿后 CH 系数 [ l l
J l (ω, φ i ) = j J l (kr 1 sin φ i ), j J l (kr 2 sin φ i ), · · · ,
矢量，A(θ) ∈ C (2L+1)×1 为由各阶环谐波组成的CH ] T
l
j J l (kr P sin φ i ) .
域导向矢量。
此时，B CHB (ω, θ)可以表示如下： 式(8)对应的最小模解为
˜
C c (ω, θ i , φ i ) H l (ω, φ i ) = J l (ω, φ i ) . (18)
H
J (ω, φ i )J l (ω, φ i )
[ P l
∑ p
˜
= C −L (kr p , θ i , φ i )H (ω, φ i ), · · · , 与 UCA 利用标量 H l (ω, φ i ) 进行 CH 系数补偿
−L
p=1 不同，UCCA 使用矢量滤波器同时补偿多个环阵的
P ] T
∑ p 同阶CH。为了补偿某一确定(l, ω, φ i )条件下的CH
˜
C L (kr p , θ i , φ i )H (ω, φ i ) , (13)
L
p=1 系数至期望值，UCCA 可以利用不同半径下的多个
A(θ) = [e −jLθ , · · · , e −j0θ , · · · , e jLθ T (14) 同阶 CH 来完成，从而具有更大的灵活性。通过求
] .
解最小模补偿滤波器，在接近贝塞尔函数零点处，
CH 域波束 B CHB (ω, θ) 可以看作是 CH 系数矢
UCCA会偏向于赋给 CH分解系数较小的环阵以较
量和CH域导向矢量的夹角余弦。
小的补偿系数，这一点与式 (16) 对应的 UCA 补偿
2.1 单环阵补偿滤波器求解及其正则化 滤波器的解恰恰相反。通过合理的设置半径，可以
当环数 P = 1 时，UCCA 退化为 UCA，此时补 避免各环 CH 分解系数零点处于相同频率条件下，
偿滤波器H l (ω, φ i )需要满足 UCCA 可以彻底解决 UCA 中贝塞尔函数零点处的
噪声放大问题。
l −1
H l (ω, φ i ) = (j J l (kr sin φ i )) ,
补偿滤波器模值与 CH 波束形成器的稳健性
ω ∈ [ω L , ω H ], l ∈ [−L p , L p ]. (15)
是负相关的 [26] 。下面对UCA和UCCA在俯仰角为
在频率 ω 对应贝塞尔函数零点时，该频点对应 90 下的前两阶补偿滤波器的模值进行了仿真，其
◦
的H l (ω, φ i ) 趋于无穷大，这导致了严重的噪声放大 中，正则化参数配置为0.00065，两种UCA和UCCA
问题。为了缓解这一问题，一种基于吉洪诺夫正则 的阵列参数如表 1 所示。结果如图 2 所示，可知，