Page 121 - 《应用声学》2020年第2期

第 39 卷 第 2 期 贾基东等： 一种基于随机序列的正交离散频率编码信号 279

3.2 时延、频移测量精度 1 N−1
∑
χ (τ, 0) ≈ ϕ nn (τ, 0). (31)
将 信 号 的 模 糊 函 数 下 降 到 最 大 值 0.707 倍 N
n=0
(−3 dB) 处的截面图定义为模糊椭圆或信号的模 代入式(19)，得到
糊度图，反映了目标距离、速度的测量精度。 (T s − |τ|) sin (πN∆fτ) −jπ(N−1)∆fτ
令τ = 0，有 ϕ nm (0, v) = 0，因此信号的模糊函 χ (τ, 0) ≈ NT s sin (π∆fτ) · e .
数可以表示为 (32)
N−1 两边取模，有
1 ∑
χ (0, v) = e j2πnvT s ϕ nn (0, v). (22)
N (T s − |τ|) sin (πτN∆f)
n=0 |χ (τ, 0)| ≈ . (33)
N sin (πτ∆f)
T s
考虑到如式(23)的变换：
从式 (33) 可知，离散频率编码信号模糊函数
N−1
∑ sin Na/2 的时延测量精度与信号的总带宽 B = N∆f 有关。
e jar = e j(N−1)a/2 . (23)
sin a/2 |χ (τ, 0)| 第一个零点的位置为 ±T s /N，定义以模糊
r=0
代入式(19)，得到 度图与时延轴两个交点间时延差的一半为时延测
量精度，则信号的时延测量精度为
sin πvNT s
χ (0, v) = e jπNvT s . (24)
ε τ = 0.44(T s /N).
πvNT s (34)
两边取模，有
当T s ∆f ≈ 1时，则

sin πvNT s 0.44 0.44
|χ (0, v)| = . (25) ε τ = = , (35)

πvNT s N∆f B
从式 (25) 可以看出，离散频率编码信号模糊 即信号的时延测量精度与信号带宽成反比。
函数在 τ = 0 的平面表现为 sinc 函数形式，信号 由式 (26) 和式 (35) 可知，离散频率编码信号的
的频移测量精度只与信号总时长 T = NT s 有关。 频移测量精度和时延测量精度只与信号的时长和
|χ (0, v)|的第一个零点位置为±1/T，定义以模糊度 带宽有关，而与具体的编码序列无关。因此，对于正
图与频移轴两个交点间频移差的一半为频移测量 交离散频率编码信号集的设计，应该主要关注信号
精度，则信号的多普勒频移测量精度为 间的正交性设计，通过设计正交的频率编码序列，来
提高信号间的正交性能。
ε v = 0.44/T, (26)
3.3 正交性分析
即信号的多普勒测量精度与信号时长成反比。
假定由两个长度都为 N 的不同序列 Q x , Q y 编
令v = 0，由式(1)可得
码得到的两个信号分别为 s x (t)、s y (t)，则两个信号
α = f n − f m = (q n − q m ) ∆f. (27) 的互模糊函数定义为
∫
1 ∞
将式(27)代入到式(18)，得到 s (t)s y (t − τ)
∗
x
χ xy (τ, v) = √
2 E x E y −∞
ϕ nm (τ, 0) j2πvt
× e dt, (36)
(T s − |τ|)
= e −jπ(q n −q m )∆f(T s +τ)−j2πf m τ 其中，E x 、E y 分别为信号s x (t)、s y (t)的能量大小。
T s
sin π (q n − q m ) ∆f (T s − |τ|) 将式(2)、(3)代入式(36)，得到
· . (28)
π (q n − q m ) ∆f (T s − |τ|) 1 N−1 N−1
∑ ∑
χ xy (τ, v) = e j2πn x vT s
当τ → 0时，其中sinc项 N
y
x
n =0 m =0
sin π (q n − q m ) ∆f (T s − |τ|) × ϕ n m (τ − (n − m ) T s , v) , (37)
y
x
→ 0. (29) x y
π (q n − q m ) ∆f (T s − |τ|)
其中，
因此，当τ → 0时 ∫
1 ∞
∗
ϕ n m (τ, v) = p x(t)p m (t − τ)
x
y
y
n
ϕ nm (τ, 0) ≈ 0. (30) T s −∞
则信号的模糊函数可以近似表示为 × e j2πvt dt. (38)