Page 7 - 《应用声学》2020年第4期

第 39 卷 第 4 期 张雪冬等： 一种基于序贯估计的直达声区水面舰船被动测距方法 493

p
p
G e (z j , z s , ω; θ k ; N) 其中，x 和 U 表示由状态方程得到的预测状态
k k
c
P j (ω) −iϕ(ω;θ k ;N) 向量及其协方差矩阵，x 表示由测量方程更新后
k
= √ e
∑ N 得到的状态向量，H 是 h(·) 的线性化算子，K 表示
2
|P j (ω)|
j Kalman增益，上标T表示矩阵转置。
G(z j , z s , ω; N) −iωT (θ k ;N) 由于 EnKF 用集合中成员的概率分布来表达
= √ e . (4)
∑ N p
2 概率密度函数，则预测状态向量集合x 在时间步长
|G(z j , z s , ω; N)| k
j p p
ˆ
k 的采样均值x 和协方差矩阵U 可表示为
在大多数浅海信道中，信道响应 (公式 (4)) 中 k k
M
的分母在频率上足够恒定，所以可以通过平方根项 p 1 ∑ p,i (7)
x =
k M x k ,
的归一化消除声源信号幅度对估计结果的影响。最 i=1
后，将 RBD-CIR 的直达波的相对到达时间差作为 p 1 ∑ p,i p ) ( p,i p ) T
M (
ˆ
U = x k − x k x k − x k . (8)
k
测量值，利用EnKF，可对声源-接收距离进行估计。 M − 1 i=1
p
1.2 EnKF [21] 可以看出，当M 趋于无穷时，由于x 收敛于真实的
k
p
ˆ
状态向量值，因此 U 趋于真实的误差协方差矩阵
序贯估计提供了一个状态 -空间模型，当出现 k
p
U 。而且状态-空间模型中包含算子H 的项都可由
新的观测值时可对状态值进行预测和更新，它模拟 k
以下公式代替
了状态向量与观测向量之间的关系，该模型由状态
M (
方程(5a)和测量方程(5b)构成： U H = 1 ∑ x p,i − x p )
T
p
ˆ
k k k
M − 1 i=1
x k = f(x k−1 ) + v k−1 , (5a)
[ ( ) ] T
p,i p
· h x − h (x ) , (9)
y k = h(x k ) + w k . (5b) k k
M [ (
在本文中，状态向量 x k 为声源深度和声源 -接收距 ˆ p T 1 ∑ p,i ) p ]
HU H =
k
k M − 1 h x k − h (x )
离在第 k 个时间步长时的值。状态方程预测算子 i=1
[ ( ) ] T
f(·) 模拟了状态向量随时间步长的变化过程，由于 p,i p (10)
· h x
k
k − h (x ) .
本文不考虑声源的运动模型，所以该算子取为单位
由此可看出，每个由状态方程产生的状态向量成员
矩阵I。状态噪声v k 表示了状态方程预测结果和真 p,i
x k 可以被更新为
实结果的误差，通常情况下，认为其服从高斯分布。 [ ( )]
i
x c,i = x p,i + K y − h x p,i ,
本文中观测向量 y k 为直达波在不同接收深度上的 k k k k
相对到达时间差 (以中间阵元为参考阵元)，该时间 i = 1, 2, · · · , M. (11)
差从 RBD-CIR 中提取得到。测量算子 h(·) 代表状 则更新后的状态向量集合 x 会作为初值来递归地
c
k
态向量 x k 与观测向量 y k 之间的关系，在本文中利 p 。最终的
产生下一步预测状态向量集合的初值x
k+1
用射线数值模型 Bellhop [23] 来得到。测量噪声 w k 估计结果为状态向量在收敛阶段的后验概率密度
描述了测量值 y k 与状态方程预测值 h(x k ) 之间的 (Probably density function, PDF) 的平均值。由于
误差。 EnKF 无需得到状态预测算子 f(·) 和测量算子 h(·)
EnKF 本质上利用采样集合的概率密度分布 的线性化表达式，在非线性系统中具有很大的优势。
来描述状态向量 x k 和测量向量 y k ，将集合的均
值作为估计结果。假设状态向量的初始集合为 2 实验数据处理结果
{x , i = 1, 2, · · · , M}并服从正态分布，其中i表示
i
0
为了验证上述方法的有效性，本文基于序贯
集合成员序号，M 表示集合成员个数。当 v k 和 w k
估计利用 RBD-CIR 提取的直达波相对到达时间差
服从均值为 0，方差为 V k 和 W k 的高斯分布且互不
来估计声源 -接收距离，并对实验数据结果进行了
相关时，公式(5a)和公式(5b)可改写为
分析。实验数据来自于 2016 年 9 月美国圣巴巴拉
p
p
c
x = x + K [y k − h (x )] , (6a) 海峡实验 (SBCEx-16)，实验区域为以圣巴巴拉海
k
k
k
p T ( p T ) −1
K = U H HU H + R k , (6b) 峡为中心、由 34.3 N、120.2 W 和 34.2 N、120.0 W
◦
◦
◦
◦
k k