Page 49 - 《应用声学》2021年第4期

第 40 卷 第 4 期 刘舒宁等： 压缩感知在宽带声学多普勒测速技术中的应用 533

N
0 引言 ∑
x = Ψ n α n = Ψα, (1)
n=1
宽带多普勒测速采用模拟方式处理宽带回波
其中：α 是 N × 1 的系数向量，Ψ 是 N × N 矩阵，
信号，在模拟域进行混频处理很难保证混频信号的
绝对正交，因此会产生相频失真。若直接对回波信 α n = ⟨x , ψ n ⟩。
号以奈奎斯特速率采样将信号从模拟域转化到数 若向量 α 中的非零元素个数 K ≪ N，则信号
字域处理，则对A/D要求高，在硬件上难以实现。一 α 在基 Ψ 上是稀疏的。将稀疏信号x 中的信息用一
T
种解决方法是对宽带回波信号进行带通采样 [1] ，由 组观测向量Φ = [φ 1 , φ 2 , · · · , φ m , · · · , φ M ]进行观
T
信号的中心频率与带宽决定采样频率。文献 [2] 指 测得到观测值y m = ⟨x, φ ⟩，即
m
出，对于高频信号来说，要想获得较高的信号采样
y = Φx, (2)
量化信噪比，带通采样频率宜尽可能选高一些。文
献 [3–4] 也指出，对于高频宽带信号，带通采样的采 其中：原始信号x为N × 1 矩阵，观测值 y 为M × 1
样率以及采样后的数据量依然非常高，并提出了利 矩阵，Φ为M × N 的观测矩阵且M < N。
用压缩感知理论对信号以低采样率进行采样、低数 结合式(1)，得
据量进行存储的方法。目前宽带信号处理存在的所
y = Φx = ΦΨα = Θα, (3)
需采样率高和数据存储空间大的问题，其根本原因
在于传统采样的采样率是由信号的频率和带宽决 其中：Θ = ΦΨ，Θ 是M × N 矩阵。
定的。压缩感知 (Compressed sensing, CS) [5−7] 作 由于 M < N，为此先通过求解 y = Θα 的逆
为一种新的信号采样方式，可突破均匀采样的限制 问题得到稀疏系数向量 α，再通过稀疏表示公式
实现信息采样，即由信号中所含有用信息来决定其 x = Ψα 进一步求解得到原始信号 x。要使得原始
采样的数据量，从而减少需采样数据量，提高采样效 信号 x 可以被重构，矩阵 Θ 还需要满足式 (4) 的有
率。压缩感知在水声领域常被应用于水声信号的压 限等距性质，即 Θ 不会将任意 2 个不同的 K 稀疏信
缩重构、水声信道估计等研究中 [8−9] 。 号 α 映射到同一个观测集合 y 中 [6] 才可以保证原
本文将压缩感知应用于声学多普勒测流测速， 始信号被高概率重构出来，此性质的等价条件为测
对利用压缩感知理论处理宽带回波信号的性能进
量矩阵Φ与变换基Ψ 互不相关 [16] ：
行研究。利用点回波宽带测频模型 [10] 设计回波信
号，对高采样率离散化后的回波信号数据进行压缩 1 − ε 6 ∥Θα∥ 2 6 1 + ε (ε > 0). (4)
∥α∥ 2
感知观测采样和重构，并比较回波信号在不同的稀
疏基和观测矩阵下的信号重构精度，在此基础上选 利用观测值对信号进行重构本质是求解式 (5)
择合适的重构参数。利用复协方差法估计多普勒频 的l 0 范数最优化问题得到α，通过α恢复原始信号：
移 [11−15] ，分析压缩感知方式处理回波信号的频移 
min ∥α∥ ,

0
偏差结果。另外，对带通采样与压缩感知两种回波 (5)
 s.t.: y=Φ × x = Φ × Ψ × α=Θ × α.
信号处理方法进行对比，在相同噪声条件下分别利
用两种方法对信号进行处理，对频移误差结果进行 由于式 (5) 的求解是 NP-hard 问题 (在多项式
对比分析。仿真实验结果表明，在无噪声的理想条 时间内难以求解且无法验证该解是否可靠)，研究
件下，利用压缩感知理论处理宽带多普勒测速的回 表明，可将求解l 0 最小范数转化为求解l 1 最小范数，
波信号，相对频移偏差小于 0.1%；在相同的噪声条 修改约束条件后重构问题转变为式 (6) 可求解的凸
件下，应用压缩感知方法处理后的回波信号能够获 优化问题 [17] ：
得与带通采样方法相当的测频性能，符合宽带声学 
 min ∥α∥ ,
多普勒测速的精度要求。 1 (6)
s.t. : y = Φ · x = Φ · Ψ · α = Θ · α.

1 压缩感知基本原理
由压缩感知基本原理可知，在宽带多普勒测速
假设一维回波信号 x ∈ C N×1 可以用一组基 技术中应用压缩感知处理回波信号重点为回波信

Ψ T = [ψ 1 , ψ 2 , · · · , ψ n , · · · , ψ N ]线性表示为 号的稀疏分解、测量矩阵的选择以及信号重构。