Page 50 - 《应用声学》2021年第4期

534 2021 年 7 月

假设发射信号以及回波信号长度均为 N，则离
2 应用压缩感知处理宽带多普勒测速技术 散化的卷积形式可以看作矩阵X 和向量σ 的乘积：
中的回波信号
   
Y (1) X(1) 0 · · · 0
2.1 回波信号的稀疏表达    

 Y (2)   X(2) X(1) · · · 0 
  
由式 (1) 可知，理想条件下，若系数向量 α 中  .   . . . 
 . .   . . . . . . 
的非零值的个数较少，则认为信号在基向量 Ψ 上是    




 Y (N)   X(1) 
稀疏的。在实际应用中，若系数向量 α 中包含了少    X(N) X(N − 1) · · · 
 =  
量大系数以及大量小系数，则通过适当的准则舍弃  Y (N + 1)   0 X(N) · · · X(2) 




 .   . . . 
小系数 (用 0 替代)，保留大系数来实现信号的稀疏  . .   . . . . . . 
   
表示，即在可接受的失真范围内找到信号的最简洁  Y (2N − 2)   0 0 · · · X(N − 1) 




   
表示。
Y (2N − 1) 0 0 · · · X(N)
将宽带回波信号模型简化为 [18]
 
σ(1)
Y (t) = X(t) ⊗ σ(t)
 
 
∫ σ(2)
+∞  
= X(t − τ)σ(τ)dτ, (7)  . . 
×  .  . (9)
−∞  
 
其中，Y (t) 是回波信号，X(t) 是发射信号，σ(t) 为  σ(N − 1) 
 
信号从发射点至散射体和散射体至接收点的双程 σ(N)
系统响应函数，暂不考虑散射体对回波信号的散射
由式 (9) 可以看出，若将矩阵 X 看作某种稀疏
特性。
基，则σ(n)是Y (n) 在此稀疏基下的稀疏表示向量。
对回波信号进行离散化处理， 令 t = k 1 n，
τ = k 2 m(假设 m、n 是和 t、τ 相关的离散时间变 本文选择常见的离散余弦变换基和离散傅里叶变
量)，则，式(7)可以表示为 换基作为稀疏基对回波信号进行稀疏分解，稀疏基
矩阵元素构造如表 1 所示，并在仿真实验中对两种
∑
Y (k 1 n) = X (k 1 n − k 2 m) σ (k 2 m) . (8)
稀疏基下的稀疏分解性能进行对比。
m
表 1 稀疏基表示
Table 1 The structure of sparse bases
稀疏基 稀疏基矩阵元素构造
 
1 1 1 · · · 1
 
 
 1 2 N−1 
 1 W N W N · · · W N 
 

离散傅里叶变换基 Ψ = √ 1  1 W 2 W 4 · · · W 2(N−1)  , W N = e −j2π/N

 N N N 
N  
 . . . . . 
 . . . . . . 
 . . . . 
 
N−1
1 W N W N 2(N−1) · · · W N (N−1)(N−1)
 
1 1 · · · 1
 
 √ π √ 3π √ (2N − 1)π 
 
 2 cos 2 cos · · · 2 cos 
离散余弦变换基 Ψ = √ 1  . 2N . 2N . . 2N 


N  . . . . . 
 . . . 
 
 √ (N − 1)π √ 3(N − 1)π √ (2N − 1)(2N − 1)π 
2 cos 2 cos · · · 2 cos
2N 2N 2N
2.2 测量矩阵的选择 观测得到重构回波信号所需的测量值。高斯随机矩
对信号进行稀疏表示后，在满足有限等距性质 阵和伯努利随机矩阵作为常用的测量矩阵，除易于
特性的前提下选择最优观测矩阵对回波信号进行 构造外，最大优势在于与多数稀疏基 (包含 2.1 中介