Page 51 - 《应用声学》2021年第4期

第 40 卷 第 4 期 刘舒宁等： 压缩感知在宽带声学多普勒测速技术中的应用 535

绍的离散傅里叶变换基和离散余弦变换基) 都不相 x = Ψα 即可求得重构信号 ˆ x。回波信号的压缩感
关 [6] ，可以很好满足有限等距性质，所以本文选择 知与重构流程如图1所示。
高斯随机矩阵和伯努利随机矩阵作为观测矩阵，测
ࠕࣜܳ௿ҿڀฉηՂX
量矩阵元素构造如表 2 所示，并比较不同测量矩阵
ሪႠ۳ԫ૱
下信号的重构效果。
͖ӑጇ஝ᄊሪႠ᛫᣺
表 2 测量矩阵构造 (ᭆጇ஝ੋ࠵ጇ஝Ꮆᭆ)
Table 2 The structure of measurement
᜺฾ᅾ᫼᧔ನ
matrices
OMPካข
测量矩阵 测量矩阵元素构造 ሪႠ۳ᤤԫ૱
( √ )
高斯随机矩阵 Φ i,j ∼ N 0, 1/ M
᧘౞ڀฉηՂ ^
X
1 1

− , p =
 √

M 2
伯努利随机矩阵 Φ i,j ∼ 其中 p 表示概率 图 1 回波信号的压缩感知与重构框图
 1 1

 +√ , p =
M 2 Fig. 1 Block diagram of compressed sensing and
reconstruction of echo signal
2.3 信号重构
本文选择正交匹配追踪 (Orthogonal matching 2.4 适用性验证方法
pursuit, OMP) [19−20] 算法作为重构算法对信号进 声学多普勒测速的基本原理 [11−12] 为：频率为
行重构。OMP 算法的本质是以贪婪迭代思想在一 f 0 的声波信号在水体中传播并经水中散射体反射
定误差范围内寻找原始信号的最佳近似值来逼近 后传播至换能器接收得到回波信号，处理计算得到
和精确重构原始信号，方法是在每次循环迭代流程 回波信号频率为 f r 。根据多普勒频移原理，如果声
中从感知矩阵 Θ 中选择与观测值 y 最大程度相关 源、散射体或水体间有相对速度，则f 0 与f r 不相等，
的列向量并记录此列向量在感知矩阵 Θ 中的指向 其差值f d 为
索引值，再从观测值 y 中减去相关部分后继续进行 2v cos φ
f d = f r − f 0 = f 0 , (10)
迭代流程，直至达到预先设定的迭代次数K 或收敛 c
后停止。算法流程如表3所示。 其中：v 为载体速度，c 为声波在水中的传播速度，
输出的估计值 ˆ α 即为原始信号在稀疏基上的 φ 为载体运动方向与换能器发射波束声轴方向的
稀疏表示向量，利用稀疏基 Ψ 和稀疏表示公式 夹角。

表 3 OMP 算法流程
Table 3 The algorithm flow of orthogonal matching pursuit

OMP 算法实现步骤：
输入： Θ, y, K；
输出： ˆ α，r t；
步骤 (1) r 0 = y，Λ 0 = ∅，t = 1；
步骤 (2) 寻找 Θ 中与 r 最匹配原子的列索引：λ t = arg max |⟨r t−1 , Θ j ⟩|；将 λ t 存到 Λ 0 ：Λ t = Λ t−1 ∪ {λ t}；
j=1,2,...,N
}；
更新索引值指向的子矩阵 Θ Λ t = Θ Λ t−1 ∪ {φ λ t
( )
= Θ ⊥ y，Θ ⊥ T T α∥ ；
步骤 (3) 计算似值 α Λ t = Θ Θ Θ ，即求最小二乘解 α Λ t = arg min ∥y − Θ Λ t
Λ t x 2
；
步骤 (4) 更新残差余量 r t = y − Θ Λ t α Λ t
；否则 t = t + 1，跳至步骤 (2)。
步骤 (5) t > K 或残差余量达到收敛阈值后停止迭代，有 ˆ α ← α Λ t
注：Θ = Φ × Ψ, y 表示观测值 K 表示预先设置的最大迭代次数， ˆ α 表示估计值，r t 表示残差，t 表示迭代次数，∅ 表
示空集，Λ t 表示 t 次迭代的索引集合，λ t 表示第 t 次迭代找到的有关字典矩阵 Θ 的列索引，φ 表示 Θ 中的列向量，
符号 ∪ 表示集合并运算，⟨·⟩ 表示求向量内积。