Page 72 - 《应用声学》2021年第4期

556 2021 年 7 月

 2 2
δ δ 处，复合变幅器上存在着圆锥杆小端与内环盘环形
 2i 1i
σ 1i = , σ 2i = ,

 4 −1 4 −1
 T i δ − S T i δ − S 面沿 z 轴方向的力与位移的连续条件；由于复合变
 0 i 0 i


 { ] 1 }
 4 [
 δ 4 2 幅器整体为刚体，内环盘不存在转动，故在 r = R 3
 2 2 0 2

δ , δ
 1i 2i = (T i + S i )± (T i − S i ) + 4 , 处，内环盘上的径向转角β r1 为0，即
2 δ
0

 4 −1
 2[T i δ − S ] ρ i t i  2 2 ∂ξ
4
2
 2 = 0 i , δ = ω ,  2 3 = 2πR 3 Q r1 ,

δ
 π(R − R )E 4
 H i 0  r=R 3

 1 − µ i D i ∂x z=L 2
 
 

 2 (8)
 t
 i k τ D i ξ| = w 1 | ,
T i = , S i = ,  z=L 2 r=R 3


12 G i t i 



(4)  β r1 | = 0.
r=R 3
其中，材料的弯曲刚度、剪切弹性模量、剪切影响因
在复合变幅器的内环盘与中间环盘在 r = R 4
子分别为 处存在耦合，为满足两环盘之间的连续条件，横向位
E i t 3 E i 2 移w i 、径向转角β ri 、径向弯矩分量M ri 和径向剪力
D i = 、G i = 、k τ = 12/π 。
2
12(1 − µ ) 2(1 + µ)
分量Q ri 相等，即
径向弯矩分量M ri 和径向剪力分量Q ri 的解析 
表达式分别为  w 1 | = w 2 | ,

 r=R 4 ,t=t 1 r=R 4 ,t=t 2

 [ ] 


 ′′ µ i ′  β r1 | = β r2 | ,
M ri = D i (σ 1i − 1) J (δ 1i r) + J (δ 1i r) A 1i r=R 4 ,t=t 1 r=R 4 ,t=t 2

0
0
 r (9)


  ,
 [ ]  Q r1 | = Q r2 |
  r=R 4 ,t=t 1 r=R4,t=t 2
 
 µ i ′ 
′′
 + D i (σ 2i − 1) J (δ 2i r) + 
0
 0 J (δ 2i r) A 2i 
 r  M r1 | = M r2 | .

 r=R 4 ,t=t 1 r=R 4 ,t=t 2


 [ ]

 µ i
′′
 + D i (σ 1i − 1) Y (δ 1i r) + ′ 同样地，在复合变幅器的中间环盘和外环盘在
 0 Y (δ 1i r) B 1i
0
r

r = R 5 处也存在耦合，因此在中间环盘和外环盘的
[ ]

 µ i
 ′′ ′ 连续条件，同样满足横向位移 w i 、径向转角 β ri 、径
 + D i (σ 2i − 1) Y (δ 2i r) + Y (δ 2i r) B 2i ,
 0 0
 r

 向弯矩分量M ri 和径向剪力分量Q ri 相等，即



 G i t i G i t i 
′
′
Q ri = σ 1i J (δ 1i r)A 1i + σ 2i J (δ 2i r)A 2i

 0 0
 w 2 |
 k τ k τ  = w 3 | ,

  r=R 5 ,t=t 2 r=R 5 ,t=t 3
 
 
 
 G i t i G i t i 
′
′
 + σ 1i Y (δ 1i r)B 1i + σ 2i Y (δ 2i r)B 2i .  β r2 | = β r3 | ,
 0 0 r=R 5 ,t=t 2 r=R 5 ,t=t 3
k τ k τ (10)
(5)  = Q r3 | ,
 Q r2 |

 r=R 5 ,t=t 2 r=R5,t=t 3


1.3.3 频率方程  M r2 | = M r3 | .

r=R 5 ,t=t2 r=R 5 ,t=t 3
与换能器相连接的复合变幅杆，在换能器的激
旋转超声磨削加工中，砂轮在切削工件时为高
励下做纵向振动，由于复合变幅杆圆柱端通过螺纹
频非连续性接触，且磨削力会随磨削条件不同而改
紧固在一起，换能器与圆柱端可以视为等能量传播，
变；结合工作频率 20 kHz 超声磨削振动系统的加工
在复合变幅杆z = −L 1 处为自由端，应力为0，即
试验，磨削力负载对超声振动系统的设计可以忽略，
= 0. (6) 因而视外环盘为自由边界，即
E 4 ε 1 | z=−L 1

其中，在复合变幅杆的圆柱端和圆锥端之间由于存 
M r3 | r=R 6 ,t=t 3 = 0,
在截面变化，两部分在z = 0处耦合，满足连续条件， (11)
 = 0.
Q r3 | r=R 6 ,t=t 3
即
将式 (6) ∼ (11) 整理，得到了一个 16 阶的齐次

ξ 1 | z=0 = ξ 2 | z=0 ,

(7) 方程组：
ε 1 | z=0 = ε 2 | z=0 .

∆ 16×16 ζ 16×1 = 0. (12)
复合变幅杆的圆锥杆端与内环盘通过薄螺母
通过求解该方程组，可解得所需的参数。
紧固，可以视之为刚性连接。故在 z = L 2 、r = R 2