Page 27 - 《应用声学》2021年第6期

第 40 卷 第 6 期 梁玉权等： 浅海低频长线阵声源方位估计 823

其中，θ im = arccos (cos θ i sin ϕ m )，对方位角 θ i 入射
z si 的点源，将会有 M 个等效的模态方位角 {θ im } 与之
d
d HLA l⇁
z r l 对应。将方位角空间 {θ} 进行均匀离散化，假设离
l֓ θ i
r 
φ m 散网格数为 G，不考虑离格问题，认为网格中包含 I
个入射点源方位角，除有限 I 个入射点源方位角外
གູ i ༏ԧᄊኄ m ᫽ (I 一般较小)，其他方位上均没有声源，因此信号是
വগК࠱வՔ
稀疏的，稀疏度为 I；又因为第g 个方位角对应有 M
图 1 简正波阵列信号模型
个等效的模态方位角，因此信号是块稀疏的。为方
Fig. 1 Array signal model of normal mode
便讨论，将式(3)写成矩阵的形式：
进一步，可将式(2)重写为
I M y = Ax + n, (4)
∑ ∑ j2πf(l−1)d cos θ i sin ϕ m /c
P(l) ≈ W im e
T
i=1 m=1 其中，y = [P (1) , P (2) , · · · , P (L)] 为测量声场向
I M L×GM
∑ ∑ 量，上标 T 表示转置，A ∈ C 为按块结构组合
= W im e j2πf(l−1)d cos θ im /c , (3)
的模态方位导向矢量矩阵(字典)：
i=1 m=1
[ ]
A = a (θ 11 ) , a (θ 12 ) , · · · , a (θ 1M ), a (θ 21 ) , a (θ 22 ) , · · · , a (θ 2M ), · · · , a (θ G1 ) , a (θ G2 ) , · · · , a (θ GM ) ,
| {z } | {z } | {z }
B 1 B 2 B G
其每一列为模态方位导向矢量(原子)
[ ] T
a (θ gm ) = 1, e j2πfld cos θ gm /c , · · · , e j2πf(L−1)d cos θ gm /c , g = 1, · · · , G, m = 1, · · · , M,

x ∈ C GM×1 为待恢复块稀疏复数权值向量，块结构为
[ ] T
x = W 11 , W 12 , · · · , W 1M , W 21 , W 22 , · · · , W 2M , · · · , W G1 , W G2 , · · · , W GM ,
| {z } | {z } | {z }
x 1 x 2 x G
其 G 块中仅有 I 块元素非零，其余块元素均为 0， 表 1 BOMP 估计声源方位算法
n ∈ C L×1 为测量噪声向量。此时，对浅海低频声源 Table 1 BOMP algorithm for azimuth es-
的方位估计问题，转化为已知测量 y 和模态方位导 timation
向矢量矩阵 A，对权值向量 x 进行块稀疏恢复的问
r = y, ε = 1, ε min = 10 −3 , I = 10,
题。针对以上简正波阵列信号模型中的块稀疏恢复
0 初始化 i = 0, M = { }, U = [ ], h = [ ],
问题，给出 BOMP 声源方位估计算法，算法伪代码
( H ) −1 H
如表1所示。 P B g = B g B B g B , ∀g ∈ {1, 2, · · · G}
g
g
其中，上标 H 表示共轭转置，r 为残差向量， 1 while (ε > ε min ) and i < I
M 为支撑原子下标集，U 为支撑模态方位导向 2 i = i + 1, ε old = ε
矢量矩阵块下标序列 (即声源方位的下标 {g|g =
( )
3 U i = arg min
I − P B g r
2
1, · · · , G})，h为每一次选择的原子块的最小二乘拟合 g
4 M = M ∪ {(U i − 1) M + 1, (U i − 1) M + 2, · · · , U i M}
贡献系数序列，ε 为最小二乘拟合相对误差，ε min 为
( H ) −1 H
相对误差最小值 (收敛判定参数)，i 为算法迭代次 5 P A M = A M A A M A M
M
( )
数，当给定块稀疏度 I(即最多声源个数) 时，算法迭 6 r = I − P A M y
H
H
= B g (B B g ) −1 · B 为 7 ε = ∥r∥ /∥y∥
代次数小于等于 I 次，P B g g g 2 2
第 g 块模态方位导向矢量矩阵 {B g |g = 1, 2, · · · , G} 8 h i = ε old − ε
的投影矩阵，ε old 为上一次的相对误差，通过 l 2
9 输出 U, h, ε.
)r∥ 2 ，确定每次迭代
范数最小化arg min ∥(I − P B g
g