Page 84 - 《应用声学》2021年第6期

880 2021 年 11 月

{ [ ]
Ek (1 − σ)BesselJ(1, kr)
T r = A 1 BesselJ (0, kr) −
2
(1 − σ ) kr
[ ] }
(1 − σ) BesselY (1, kr) jωt
+ B 1 BesselY (0, kr) − e . (5)
kr
将R、R 1 、V 1 、−V 2 代入式(3)中，可以求出待定系数A 1 和B 1 的表达式分别为
1 V 1 Y 1 (kR 1 ) + V 2 Y 1 (kR) −jωt
A 1 = · e , (6)
jω Y 1 (kR 1 ) J 1 (kR) − Y 1 (kR) J 1 (kR 1 )
1 V 1 J 1 (kR 1 ) + V 2 J 1 (kR) −jωt
B 1 = − · e . (7)
jω Y 1 (kR 1 ) J 1 (kR) − Y 1 (kR) J 1 (kR 1 )
将式(6)、式(7)代入式(5)中，可得
 [ ( )
ES 1 k J 1 (kR 1 ) Y 0 (kR) − Y 1 (kR 1 ) J 0 (kR) 1 − σ

F 1 = −T r1 S 1 = + V 1

2
 (1 − σ ) jω Y 1 (kR 1 ) J 1 (kR) − Y 1 (kR) J 1 (kR 1 ) kR


 ]

 J 1 (kR) Y 0 (kR) − Y 1 (kR) J 0 (kR)

 + Y
 V 2 ,

Y 1 (kR 1 ) J 1 (kR) − Y 1 (kR) J 1 (kR 1 )
[ (8)
ES 2 k J 1 (kR 1 ) Y 0 (kR 1 ) − Y 1 (kR 1 ) J 0 (kR 1 )

F 2 = −T r2 S 2 =

 2 V 1
 (1 − σ ) jω Y 1 (kR 1 ) J 1 (kR) − Y 1 (kR) J 1 (kR 1 )


 ( ) ]

 J 1 (kR) Y 0 (kR 1 ) − Y 1 (kR) J 0 (kR 1 ) 1 − σ

 + − V 2 .

Y 1 (kR 1 ) J 1 (kR) − Y 1 (kR) J 1 (kR 1 ) kR 1
化简式(8)可得

F 1 = (Z a1 − Z a2 ) V 1 + Z a2 (V 1 + V 2 ) ,

(9)
F 2 = (Z b2 − Z a2 ) V 2 + Z a2 (V 1 + V 2 ) + (Z b1 − Z a2 ) V 1 ,

其中：
{ }
k [J 1 (kR 1 ) Y 0 (kR) − Y 1 (kR 1 ) J 0 (kR)] 1 − σ
Z 1
Z a1 = + ,
kj Y 1 (kR 1 ) J 1 (kR) − Y 1 (kR) J 1 (kR 1 ) R
Z 1 k [J 1 (kR) Y 0 (kR) − Y 1 (kR) J 0 (kR)]
Z a2 = ,
kj Y 1 (kR 1 ) J 1 (kR) − Y 1 (kR) J 1 (kR 1 )
Z 2 k [J 1 (kR 1 ) Y 0 (kR 1 ) − Y 1 (kR 1 ) J 0 (kR 1 )]
Z b1 = ,
kj Y 1 (kR 1 ) J 1 (kR) − Y 1 (kR) J 1 (kR 1 )
{ }
Z 2 k [J 1 (kR) Y 0 (kR 1 ) − Y 1 (kR) J 0 (kR 1 )] 1 − σ
Z b2 = − , Z 1 = ρcS 1 , Z 2 = ρcS 2 .
kj Y 1 (kR 1 ) J 1 (kR) − Y 1 (kR) J 1 (kR 1 ) R 1
根据力电类比原理 [9] ，由式 (9) 可得如图 2 所 1.2 阶梯圆环径向振动等效电路、共振频率方程
示的非互易二端口等效网络，即金属薄圆环等效电 和位移放大系数
路图。 阶梯圆环可看作由图3所示的两个轴向厚度不
同的金属薄圆环径向复合而成，其轴向厚度沿半径
↼Z b ֓Z a ↽V 
Z a ֓Z a Z b ֓Z a
V  ֓ ⇁ V 
方向的变化规律为


h 1 , R < r < R 1
h(r) = (h 1 > h 2 ),
F  Z a F 

h 2 , R 1 < r < R 2
R 1 、R 2 和 h 2 分别为外圆环内半径 (内环外半径)、
图 2 金属薄圆环径向振动等效电路 外半径和轴向厚度，V 3 和 V 4 、F 3 = −T r3 S 3 和
Fig. 2 Radial vibration equivalent circuit of a thin F 4 = −T r4 S 4 以及S 3 = 2πR 1 h 2 和S 4 = 2πR 2 h 2 分
metal ring 别为外环内外侧面处质点的径向振动速度、径向应