Page 85 - 《应用声学》2021年第6期

第 40 卷 第 6 期 许龙等： 阶梯圆环压电超声换能器径向振动性能的理论研究 881

力和侧面面积。将R 1 、R 2 、V 3 、−V 4 代入式(3)中，可 z Яړဗ
ܱړဗ
求出外环径向位移方程中的待定系数A 2 和B 2 ：
F 
1 V 3 Y 1 (kR 2 ) + V 4 Y 1 (kR 1 ) F  F  F 
A 2 = ·
jω Y 1 (kR 2 ) J 1 (kR 1 ) − Y 1 (kR 1 ) J 1 (kR 2 ) h  h  r
V  V  V 
× e −jωt , (10) V 
R
1 V 3 J 1 (kR 2 ) + V 4 J 1 (kR 1 )
B 2 = − · R 
jω Y 1 (kR 2 ) J 1 (kR 1 )−Y 1 (kR 1 ) J 1 (kR 2 )
R 
× e −jωt . (11)
图 3 阶梯圆环结构示意图
由图 3 可知，阶梯圆环做径向振动时，内外环
Fig. 3 Schematic diagram of stepped metal thin
两部分连接处满足径向应力和速度连续，由图 2 所
ring structure
示的金属薄圆环径向振动的等效电路和内外环两
部分之间的边界条件可得图4 所示的阶梯圆环等效 图 4 中内环部分的各等效阻抗参数在 1.1 节中
电路。 已给出，外环各部分阻抗参数分别为

{ }
Z 3 k [J 1 (kR 2 ) Y 0 (kR 1 ) − Y 1 (kR 2 ) J 0 (kR 1 )] 1 − σ
Z c1 = + ,
kj Y 1 (kR 2 ) J 1 (kR 1 ) − Y 1 (kR 1 ) J 1 (kR 2 ) R 1
Z 3 k [J 1 (kR 1 ) Y 0 (kR 1 ) − Y 1 (kR 1 ) J 0 (kR 1 )]
Z c2 = ,
kj Y 1 (kR 2 ) J 1 (kR 1 ) − Y 1 (kR 1 ) J 1 (kR 2 )
Z 4 k [J 1 (kR 2 ) Y 0 (kR 2 ) − Y 1 (kR 2 ) J 0 (kR 2 )]
Z d1 = ,
kj Y 1 (kR 2 ) J 1 (kR 1 ) − Y 1 (kR 1 ) J 1 (kR 2 )
{ }
Z 4 k [J 1 (kR 1 ) Y 0 (kR 2 ) − Y 1 (kR 1 ) J 0 (kR 2 )] 1 − σ
Z d2 = − ,
kj Y 1 (kR 2 ) J 1 (kR 1 ) − Y 1 (kR 1 ) J 1 (kR 2 ) R 2

其中，Z 3 = ρcS 3 ，Z 4 = ρcS 4 。 将 1.1 节中的 A 1 、B 1 和 1.2 节中的 A 2 、B 2 代入
当外环的外侧面为自由端，即F 4 (F 4 = 0)处短 式 (2) 中，可求出内环和外环的内外侧面质点位移
路时，根据图4推导出阶梯圆环的输入阻抗为 ξ r1 (R)、ξ r1 (R 1 ) 和 ξ r2 (R 1 )、ξ r2 (R 2 )，进一步可得阶
梯圆环的位移放大系数M 为
Z a2 Z b1 Z d2
Z in = Z a1 − . (12)

Z b2 Z d2 + Z c1 Z d2 − Z c2 Z d1 ξ r1 (R 1 ) ξ r2 (R 2 ) V 2 V 4
M = × = × . (14)
阶梯圆环的径向共振频率方程为 ξ r1 (R) ξ r2 (R 1 ) V 1 V 3
Z a2 Z b1 Z d2 由式(12)结合图4可得
Z in = Z a1 − = 0.
Z b2 Z d2 + Z c1 Z d2 − Z c2 Z d1
V 4 Z b1 Z d1
(13) M = = . (15)

V 1 Z b2 Z d2 + Z c1 Z d2 − Z c2 Z d1
Z a ֓Z a Z b ֓Z a ↼Z b ֓Z a ↽V  Z c֓Z c Z d֓Z c ↼Z d֓Z c↽V 
V  ֓ + ֓ + V 

F  Z a Z c F 

޵ശ⧟ ཆശ⧟

图 4 阶梯圆环等效电路
Fig. 4 The equivalent circuit of a stepped metal thin ring