Page 103 - 《应用声学》2022年第5期

第 41 卷 第 5 期 罗平展等： 管道有源噪声控制中壁面分布次级声源的空间分布优化 779

分布
式(10)中y 方向的积分表明，在y 方向按k m y
∫
L y [
Y = cos(k n y y ) a m y cos(k m y y ) 的次级声源，只激励 m y 相关的高阶模式声波，不
′
′
0
] 会对其他模式声波产生影响。同时，可以通过选择
′
a
+ (−1) m x ′ cos(k m y y ) dy ′
m y 和a ′ 的符号来决定Y 1 和Y −1 的值，以选择性
a m x
m x
1 [ ]
= a m y + (−1) m x ′ L y δ m y n y 的激励m x 相关的奇数阶或偶数阶模式声波。
a
m y
最后，次级声源在 z 方向的空间分布对于激励
ε m y
= Y 1 + Y −1 . (10)
高阶模式声波的贡献可以写成
∫
L z ′
Z = cos(k m z z )e ik n z z dz ′
′
0

[ ] [ ]
L z )L z /2 L z )L z /2
 ) e i(k n z +k m z ) e i(k n z −k m z
 sin (k n z + k m z sin (k n z − k m z

 2 2
 + , m z ̸= n z ,
= (k n z + k m z ) (k n z − k m z )

 1
L z
 + L z )e ik m z L z , m z = n z ,
 sin(k m z
2 2k m z
 { }
[ ] [ ]
 L z L z )L z /2 L z )L z /2
 ) e i(k n z +k m z ) e i(k n z −k m z , m z ̸=n z ,
 sinc (k n z +k m z +sinc (k n z − k m z
2 2 2
= (11)
 L z { }

 L z ) e ik m z L z , m z = n z ,
1 + sinc (k m z
2
其中，sinc(x) = sin x/x。式 (11) 表明壁面分布次 分布频率和激励高级模式声波存在对应关系，是对
级声源无法对 z 方向上的模式声波进行严格的独 高阶模式独立控制的理论依据。为了形象展示壁面
立控制，必然会激励各种高阶模式声波，这是壁 分布次级声源在各方向上的空间分布对于控制高
面分布次级声源控制高阶模式声波局限性的体现。 阶模式声波的贡献，图2 给出了 X、Y 和 Z 对激励第
但是应注意到，式 (11) 中关于 L z /2 只有一个线性 m阶(m x , m y )模式声波的贡献示意图，其中第m阶
项，其他均为随 L z 的震荡衰减的 sinc 函数。因此， 模式声波的幅度被归一化到 1 以方便比较。图 2 表
当 L z 增大时，线性项增大从而显著大于其他 sinc 明，壁面分布次级声源的空间分布对其控制性能非
分布的次级声源在 常重要。当次级声源在合理优化空间分布后能近似
函数，使得在 z 方向上按照 k m z
轴向的尺寸 L z 较大时能显著激励 z 方向上波数为 独立地控制管道中各高阶模式声波，从而实现较好
的模式声波。进一步考虑到，当 x > π 时，有
k m z 的控制效果；但是若未被合理的布放，在激励目标模
sinc(x) ≪ 1，因此一般要求壁面分布次级声源的轴 式声波时也将同时激励其他模式声波，无法实现独
)，其中 min( ) 表示
向尺寸 L z > 2π/ min(k n z − k m z 立激励各高阶模式声波，从而丧失对高阶模式的控
在各种n z 和m z 的组合中选择波数差的最小值。 制效果。
将式 (9)、式 (10) 和式 (11) 代入式 (8)，得到壁
1.2 点声源控制策略
面分布次级声源激励的高阶模式声波可以写成
在实际应用中，常以扬声器作为有源控制系统
ωρ 0
α n = (X + Y) · Z. (12) 的次级声源。由于其尺寸相对声波波长较小，此时
2Sk n z Λ n
式 (12) 表明，壁面分布次级声源在 x 方向和 y 方向， 次级声源应被建模成点声源。点声源可以看作声源
即在管道周向的空间分布对激励高阶模式声波的 连续分布 W(r ) 的空间采样，因此在满足采样定律
′
贡献会直接线性相加，再与 z 方向即管道轴向上空 的条件下前文所得关于次级声源空间分布的结论
间分布的贡献相乘，共同激励高阶模式声波。当次 同样适用。次级声源最优驱动强度可以通过以最小
级声源在管道壁面上按照 W m (r ) 分布时，主要激 化管道中声能流为目标的全局控制策略得到。本小
′
励第 m 阶模式声波；同理，第 m 阶模式声波也主要 节介绍控制策略的推导，以便后文对比次级声源空
由 W m (r ) 分布的次级声源激励。次级声源的空间 间分布对控制效果的影响。
′