Page 105 - 《应用声学》2022年第5期

第 41 卷 第 5 期 罗平展等： 管道有源噪声控制中壁面分布次级声源的空间分布优化 781

H
H
定义一个N × N 的对角矩阵，表示为 分布。仿真中 β 始终设为矩阵 Ω H HΩ s 最大特
s
√ √ √
( ) 征值的 1/1000 以保证矩阵求逆鲁棒性。为了与前
H =diag Λ 1 Sk 1 z , Λ 2 Sk 2 z , · · · , Λ N Sk N z . 文所述最小化管道声能流的控制策略一致，本文采
ρ 0 ω ρ 0 ω ρ 0 ω
(17) 用管道中残余的声能流作为控制效果的评价标准，
并将得到的声能流做归一化处理，其中 0 dB 对应
因此，式(16)中的声能流可以写成
1.0 × 10 −12 W。
H
H
H
H
E = α H Hα = (Ωq) H HΩq. (18)
表 1 管道中各阶模式声波的截止频率
选用下标 p 和 s 分别表示与初级声源和次级声
Table 1 The higher-order modes in the
源相关的参量。初级声源的驱动强度、阻抗矩阵和 duct and the corresponding cut-on fre-
激励的模式声波分别记作 q p 、Ω p 和 a p ；同理，次级 quencies
声源的驱动强度、阻抗矩阵和激励的模式声波分别
n n x n y f n/Hz n n x n y f n/Hz
记作 q s 、Ω s 和 α s 。选择代价函数 J 为管道中初级
1 0 0 0.0 10 3 1 139.5
声源和次级声源共同激励的总声能流与表示次级 2 1 0 42.5 11 2 2 141.7
声源强度的惩罚项之和 [2] ，写成 3 0 1 56.7 12 4 0 170.0
4 1 1 70.8 13 0 3 170.0
H H H
J =(Ω p q p +Ω s q s ) H H (Ω p q p +Ω s q s )+βq q s , 5 2 0 85.0 14 3 2 170.7
s
(19) 6 2 1 102.2 15 1 3 175.2
其中，β 为正实数，用来限制次级声源的驱动强度大 7 0 2 113.3 16 4 1 179.2
8 1 2 121.0 17 2 3 190.1
小 [15] 。取代价函数J 对q s 的导数为零，可得最优次
9 3 0 127.5 18 4 2 204.3
级声源驱动强度q opt 为
图 3 给出了 x 和 y 方向上壁面分布次级声源的
H
H
H
H
q opt = −(Ω H HΩ s + βI) −1 Ω H HΩ p q p .
s s 空间分布示意图和相应的控制效果。其中，空间
(20)
分布 (1)∼(4) 分别对应前文中的 X 1 、X、Y 1 和 Y，即
2 仿真实验与分析 图 2(a)∼图2(d)。图3所示的结果表明，在低频段高
阶模式声波数目相对较少时，各种空间分布的次级
下文通过数值仿真对比壁面分布次级声源在 声源均能取得较好的控制效果。这是因为在这些
前文所述控制策略下的各种空间分布对高阶模式 频率范围内壁面分布次级声源对所有高阶模式声
控制效果的影响，以验证本文所提出的理论模型和 波均能实现独立控制，从而取得了接近最优的控制
结论的有效性。 效果。但是，图 3 所示的壁面分布次级声源对高阶
仿真实验中无限长矩形管道的截面积设为 模式控制效果存在明显的工作频率上限。例如，对
4.0 m × 3.0 m (L x × L y )。管道中初级声场由布放 于图 3 中的次级声源空间分布 (1)，其工作频率上
在(0.0, 0.0, −10.0) m 处的点声源所激励，仿真中声 限为 56.7 Hz，对应第 3 阶 (0, 1) 模式声波的截止频
波的频率范围设为30∼210 Hz。在这个频率范围内， 率。这是因为当频率低于56.7 Hz 时，管道中仅有第
最多存在 18 个传播模式声波，对应的截止频率为 1 阶(0, 0)和第 2 阶(1, 0) 模式声波。空间分布 (1) 为
2
2 1/2
f n = c/2[(n x /L x ) + (n y /L y ) ] 。它们的阶数和 一个 x 方向上的线阵，可以独立控制不同n x 的模式
截止频率的具体取值如表1所示。 声波。当频率高于 56.7 Hz 时管道中出现了第 3 阶
对于前 18 阶模式声波，其阶数满足 n x 6 4 和 (0, 1) 模式声波，而空间分布 (1) 所示的次级声源无

n y 6 3，即在 x 方向上不超过 5 个模式声波，在 y 法独立控制 (0, 0) 和 (0, 1) 两个 n x = 0 的简并模式，
方向上不超过 4 个模式声波。因此根据采样定律， 导致控制效果显著下降。而对于空间分布 (2)，通
在 x 方向上和 y 方向上分别需要 5 个和 4 个次级声 过增加了一个 x 方向上的线阵，使得其可以独立控
源。在 z 方向上对于可能的多层分布次级声源，其 制 n y 相关的两个模式，因此可以同时控制 (0, 0) 和
层间距和轴向尺寸分别记为 ∆L z 和 L z 。为了方便 (0, 1) 模式声波，相应的工作频率上限为 (0, 2) 模式
比较，壁面分布次级声源在各方向上都服从均匀 声波的截止频率 113.3 Hz。此时空间分布 (2) 对应