Page 102 - 《应用声学》2022年第5期

778 2022 年 9 月

其中，ω 为激励频率，ρ 0 为空气密度，格林函数 形式 [13] ，即
G (r|r )可以表示为 ∑
′
∞
′
P(r) = α n φ n e −ik n z (z−z ) . (7)
∞
−i ∑ φ n (x, y)φ n (x , y ) ′
′
′
′
G(r|r ) = e −ik n z |z−z | , n=1
2S Λ n k n z
n=1 次级声源 W m (r )在管道中所激励的高阶模式声波，
′
(2)
可以通过将式 (6) 代入式 (1) 中得到，对比式 (7)，得
其中，φ n 表示管道的高阶模式声波。对于四周为刚 到W m (r )所激励的各阶模式声波的系数为
′
性壁面的矩形管道，φ n 满足
{ ∫
L x
ωρ 0 [
( ) ( ) ′ ′
n x πx n y πy α n = cos(k n x x ) a m x cos(k m x x )
φ n (x, y) = cos cos , (3) 2Sk n z Λ n 0
L x L y ]
+ (−1) m y ′ cos(k m x x ) dx ′
a
′
对应的归一化系数为 m x
∫
 L y ′ [ ′
1  1, j = 0, + cos(k n y y ) a m y cos(k m y y )
Λ n = , ε j = (4) 0
ε }
ε n x n y  2, j ̸= 0. ]
′
a
+ (−1) m x ′ cos(k m y y ) dy ′
m y
第n 阶模式声波的波数 k 在各方向上的分量可以分
∫
L z
别表示为 × cos(k m z z )e ik n z z ′ dz . (8)
′
′
0
n x π n y π
= = ,
k n x , k n y 式 (8) 中包含了 x、y 和 z 三个方向的积分，彼此独
L x L y
√
( ) 2 ( ) 2 立，分别计算如下。
n x π n y π
2
= k − − . (5)
k n z 首先，次级声源在 x 方向空间分布对于激励高
L x L y
阶模式声波的贡献可以写成
下文开始讨论壁面分布次级声源的空间分布
∫ L x
对控制管道高阶模式声波的影响。假设次级声源的 [
′
′
X = cos(k n x x ) a m x cos(k m x x )
分布范围限于 0 6 z 6 L z 范围内的 4 个壁面。构造 0
]
′
a
次级声源分布W m (r )满足 + (−1) m y ′ m x cos(k m x x ) dx ′
′
1 [ m y ′ ]
′
W m (r ) = a m x + (−1) a m x L x δ m x n x
ε m x
′
′ z )δ(y )
′
= a m x cos(k m x x ) cos(k m z = X 1 + X −1 , (9)
′
′
′
+ a ′ cos(k m x x ) cos(k m z z )δ(y − L y )
其中，δ mn 为克罗内克函数，它的值仅当 m = n 为
m x
′ ′ ′
1，其他时候均为 0。式 (9) 中 x 方向的积分表明，在
+ a m y cos(k m y y ) cos(k m z z )δ(x )
′
+ a ′ ′ z )δ(x − L x ), (6) 分布的次级声源，只激励 m x 相关的
′
m y cos(k m y y ) cos(k m z x 方向按 k m x
的定义 高阶模式声波，不会对其他模式声波产生影响。同
其中，δ( )表示狄拉克函数，k m x 、k m y 和k m z
与式 (4) 中相同，即等于第 m 阶模式声波各方向上 时，管道中 x 方向上两个相对的平行墙面上次级声
的波数。显而易见，W m (r ) 代表了在管道壁面上 源的贡献分别为 X 1 和 X −1 。可以令 a m x = a ′ m x ，则
′
空间频率与第 m 阶模式声波的频率相同的 4 个面 对于m y 为奇数的模式声波，X 1 和X −1 反向，X为0，
、a ′ 和a ′ 分别是这 4 个面声源的 此时只激励 m y 为偶数的模式声波；同理，可以令
声源，a m x 、a m y
m x m y
强度。根据傅里叶变换的原理，壁面上任意有限的 a m x = −a ′ m x ，此时只激励 m y 为奇数的模式声波。
次级声源的空间分布均能表示成不同 W m (r ) 的叠 这可以解释为，两个沿 x 方向沿伸的平行墙面等同
′
加 [14] 。因此，通过研究 W m (r ) 代表的次级声源分 于y 方向的两点空间采样，可以控制m y 相关的两个
′
布对高阶模式声波的激励机制，可以推演得到任意 模态，使得根据 m y 的奇偶性可以区分和独立控制
有限分布的次级声源对高阶模式声波的激励。 相关模式声波。
不失一般性，只考虑向管道下游传播的高阶模 同理可得次级声源在 y 方向的空间分布对于激
式声波，管道内的声场可以分解成模式声波叠加的 励高阶模式声波的贡献为