Page 106 - 《应用声学》2023年第2期

294 2023 年 3 月

法的核心技术环节如图 1 所示。文章内容的结构顺 球面求积法计算球面谐波分量，最大次数表示为
序为：第 1 节总结了 SH-SRP 算法和子空间算法以 n max = N，则
及球面网格的划分；第 2 节讨论了根据声源个数和 Q
4π ∑ m ∗
相对熵差进行自适应网格选择的方法；第 3 节对改 p nm (k, r a ) = Q p(k, r a , θ q , φ q )[Y (θ q , φ q )] .
n
q=1
进算的性能进行了仿真分析和实验验证；第 4 节为
(4)
结论。
空域 (p(k, r a , θ, φ)) 到球谐域 (p nm (k, r a ))的变
࠮Ք־ऄ ᄱࠫ྅ࣀ 换可以表示为
Ҫဋ Ѧ஝ ᒭᤠऄ DOA N n
Ꭺಫᤥહ ͥᝠፇ౧ ∑ ∑ m
ᆸࠀ p(k, r a , θ, φ)= p nm (k, r a )Y (θ, φ). (5)
n
ܦູ˔஝
n=0 m=−n
图 1 核心技术环节 由公式 (1) 和公式 (5)，可以得到球谐系数的表
Fig. 1 Core technology process 达式：
m
∗
p nm (k, r a ) = b n (kr a ) a s (k)[Y (θ s , φ s )] . (6)
n
1 刚性球形传声器阵列模型
1.2 SH-MUSIC算法
1.1 球谐域声场模型 MUSIC 算法，作为特征结构类算法的标准形
考虑球心位于坐标系原点的刚性球形传声器 式，可以利用球形阵列传感器位置的正交性，在球
阵列，以及位于 (r s , θ s , φ s ) 处的声源辐射的信号 谐域拓展 MUSIC 算法 (SH-MUSIC)。与波束空间
s(k)，其中 r s 为径向距离、(θ s , φ s ) 为标准球坐标 MUSIC 相类似，球谐域的 MUSIC 算法在球谐变换
中的方向 [26] ，θ、φ 分别表示俯仰角和方位角。在 之后进行，由于变换矩阵的正交性，SH-MUSIC 算
(r a , θ, φ)处记录的声压可以表示为 [27] 法通常会获得更好的性能。在自适应网格分层定
位算法(MUSIC and relative entropy joint localiza-
N n
∑ ∑
p(k, r a , θ, φ) = b n (kr a ) a s (k) tion SRP algorithm, MRE-SRP) 算法中，首先通过
n=0 m=−n SH-MUSIC 算法确定入射声源的数量。SH-MUSIC
m
m
∗
× [Y (θ s , φ s )] Y (θ, φ), (1) 的幅度谱为 [7]
n
n
其中，k 是对应于频率 f 的波数，k = 2πf/c，c 表示 P SH-MUSIC
声速，[·] 表示复共轭，a s (k)表示信号在原点处的振 1
∗
= , (7)
幅，r a 为刚性球体的半径。b n (kr a )由球面的边界形 d H (r, θ, φ) Un nm Un H d
nm nm (r, θ, φ)
nm
式决定，在刚性球形传声器阵列中， 其中， Un nm 是协方差矩阵 R nm 特征分解后获得
[ ]
j (kr a ) 的噪声子空间，协方差矩阵 R nm 和导向向量 d nm
′
b n (kr a )=4πi n j (kr) − n h (2) (kr), (2) 定义为
n
n
h (2)′ (kr a )
n
T
其中，j (·)，h (2) (·)，j (·)，h (2)′ (·) 分别表示第一类球 d nm (r, θ, φ) = [d 00 (r, θ, φ) · · · d NN (r, θ, φ)] ,
′
n n n n
m
∗
贝塞尔函数、第二类球汉克尔函数以及相应的导数。 d nm (r, θ, φ) = b n (kr a ) [Y (θ, φ)] ,
n
m
]
[
Y (θ, φ)为阶(n ∈ N)次(m ∈ M)的球谐函数， R nm = E p nm (k, r a ) p H (k, r a ) ,
n
nm
√ [
2n + 1 (n − m)! m imφ p nm (k, r a ) = p 00 (k, r a ) p 1(−1) (k, r a ) · · ·
m
Y (θ, φ)= P (cos θ)e , (3)
n n ] T
4π (n + m)! p NN (k, r a ) , (8)
m
其中，P (·) 为连带勒让德函数，有 n > 0，m 6 |n|。 其中，E[·] 表示期望。由于信号和噪声相互独立，对
n
由于在空间采样的情况下，压力仅能在球面上 协方差矩阵R nm 特征分解之后得到特征值矩阵，较
有 限 个 点 进 行 采 样。 假 设 有 Q 个 离 散 采 样 点， 大特征值对应的特征向量张成的子空间即为信号
位 于 (θ q , φ q )， 则 球 谐 函 数 截 断 阶 数 应 当 满 足 子空间，而特征值的个数即对应入射声源的个数。
Q > (N + 1) ，避免产生混叠。可以通过相应的 首先确定入射声源的数量是 MRE-SRP 算法的基
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