Page 108 - 《应用声学》2023年第2期

296 2023 年 3 月

∫ [ ]
形式展开有 n ,m ′ 1 m m ′ ∗
′
f n,m = Y (θ l , φ l ) Y ′ (θ l , φ l ) dS i , (13)
n
n
∗ A i
∑ p nm (k, r a )p ′ ′(k, r a ) S i
n m
y =
b n (kr a )b ∗ ′(kr a ) 其中，S i 为球面上的有边界元素，i 为元素索引，A i
′
n,m,n ,m ′ n m
′
[ ′ ] ∗ 为边界元素 S i 的面积。公式 (12) 和公式 (13) 的总
m
m
× Y (θ l , φ l ) Y ′ (θ l , φ l ) . (12)
n n [16]
和可以表示为
从公式 (12) 可以看出，通过球谐函数进行平面
T
W i = e (P ◦ F density i ) e, (14)
波分解，可以有效地将频率项和方向项解耦。这样
不依赖于球谐分解 (Spherical harmonics decompo- 其中，◦ 表示 Hadamard 积，e 为单位列向量。P =
sition, SHD) 而只取决于分析区域的项可以被提取 pp 和 F density i 分别表示 (N + 1) × (N + 1) 维
H
2
2
出来，定义积分密度函数为 的SHD矩阵和积分密度矩阵：
[ ]
p 00 (k) p 1(−1) (k, r a ) p 10 (k, r a ) p NN (k, r a )
p = d 0 (k) , d 1 (kr a ) , d 1 (kr a ) , · · · , d N (kr a ) , (15)
b 0 (kr a ) b 1 (kr a ) b 1 (kr a ) b N (kr a )
 
0,0 1,−1 N,N 其中，S t 为任意的被细分网格元素。任意的网格
f (S i ) f (S i ) . . . f (S i ) u,v
0,0 0,0 0,0
  细分策略都会更新当前系统的信息状态，该信息
 0,0 1,−1 N,N 
 f 1,−1 (S i ) f 1,−1 (S i ) . . . f 1,−1 (S i ) 
F density i =  .  . 状态主要由当前系统包含的网格元素以及网格所
 . . .
. . . .
 . . . . 

  提供的能量 W i 决定。基于系统和网格的这一特性，
0,0 1,−1 N,N
f (S i ) f (S i ) · · · f (S i )
N,N N,N N,N 可以采用空间相对熵作为当前系统信息量的度量，
(16) 定义为
根据选择的细分网格，积分密度矩阵允许离线 ∑ ε(S u,v )
E (α i ∥ w i ) = − ε(S u,v ) lg , (18)
计算和存储。在实时定位的应用场景中可以节省计 S u,v ∈Pix t A(S u,v )
算时间，且以球面的全局探索，代替点搜索，减小了
w u,v
漏峰的可能性。 ε(S u,v ) = ∑ , (19)
w u,v
S u,v ∈Pix t
2 定位算法
A u,v
A(S u,v ) = 2 , (20)
2.1 相对熵定位方法 4πR
其中，w u,v 为 u 层次索引为 v 的网格元素所包含的
当声源尤其是多源入射到阵列上时，SRP 映射
能量信息，由公式 (14) 计算得到；A u,v 为 S u,v 网格
会产生多个局部极大值，为了避免在全部的方向上
元素对应的球面面积。参数 ε(S u,v ) 和 A(S u,v ) 对应
旋转波束，就需要决策出包含极大值的区域。空间
信息状态的两个影响因素，可以分别解释为在能
熵通常被用来衡量系统的混乱程度。本文提出基于
量和几何层面，网格元素 S u,v 包含声源的概率，且
相对熵模型的网格选取和定位算法。信息量的多少 ∑ ∑
ε(S u,v ) = 1、 A(S u,v ) = 1。
与事件发生的概率成反比，对于已经发生的事件 e， S u,v ∈Pix t S u,v ∈Pix t
其所提供的信息量可以表示为I(p e ) = − lg(p e )，其 当空间熵值减小时，可以看作当前细分策略的信息
中 p e 为事件发生的概率。一个系统越是有序，信息 增益可成功指向局部最大值。最后定义熵差函数为
熵越低；反之，一个系统越是混乱，信息熵越高，因此 ∆(u, v) = E (α t ∥ w t ) − E (α t+1 ∥ w t+1 ) . (21)
信息熵可以作为系统有序化程度的一个度量。
熵差函数 ∆ (u, v) 即为任意网格细分前后的空
可细分网格允许在系统内包含不同分辨率级
间信息增益。算法应当不断降低当前系统的空间
别的网格。在两次相邻的迭代过程中，用 Pix t 和
熵值，即∆ (u, v) 的值越大，表示当前细化策略创建
Pix t+1 来表示当前全局的网格元素：
具有相似 SRP 能量映射的子节点的可能性就越大。
Pix t = {S u,v , u = 1, · · · , U} , 理想情况下，若 ∆ (u, v) > 0，则保留该细分策略，
Pix t+1 = Pix t ∪ S u+1,v ∼ S t u,v , (17) 以候选的网格 Pix t+1 代替现有网格 Pix t ；否则，若