Page 179 - 《应用声学》2023年第2期

第 42 卷 第 2 期 牟亚东等： 压缩感知的远场亚波长声成像仿真 367

 
   
A 1 B 1 p 11 p 12 · · · p 1k · · · p 1K
 
   
 
   
A 2 B 2  p 21 p 22 · · · p 2k · · · p 2K 
   
 . . . . . . 

    . . . . . . 
     . . . . . .
· · · · · · 
   
A=  , B =  , p=   ,
 
   
A j B j  p j1 p j2 · · · p jk · · · p jK 
   
 
     . . . . . .
    . . . . . . 
· · · · · ·  . . . . . . 
   
 
A M B M p M1 p M2 · · · p Mk · · · p MK
   
χ 11 χ 12 · · · χ 1k · · · χ 1K γ 11 γ 12 · · · γ 1k · · · γ 1K
   
   
 χ 21 χ 22 · · · χ 2k · · · χ 2K   γ 21 γ 22 · · · γ 2k · · · γ 2K 
 . . . . . .   . . . . . . 

 . . . . . .  . . . . . . 
 . . . . . .   . . . . . . 
χ =   , γ =   ,
   
 χ j1 χ j2 · · · χ jk · · · χ jK   γ j1 γ j2 · · · γ jk · · · γ jK 
 . . . . . .   . . . . . . 

 . . . . . .  . . . . . . 
 . . . . . .   . . . . . . 
   
χ M1 χ M2 · · · χ Mk · · · χ MK γ M1 γ M2 · · · γ Mk · · · γ MK
其中，j = 1, 2, 3, · · · , M，M 代表频率的个数， 如下：
˜
k = 1, 2, 3, · · · , K，K 代 表 角 度 的 个 数， 其 中 A j
A j = (√ ), (7)
N
K = 31，χ jk ∈ C 代表着在第 j 个频率以及第 k M r ( ) 2
max ∑ ˜
个入射角情况下 N = 80 个成像位置的复幅度响应 n m=1 A j mn
(单极子)，而 γ jk ∈ C N 代表着在第 j 个频率以及第 ˜
其中，A j 表示第 j 个频率归一化后的格林函数，A j
k 个入射角情况下 N = 80 个成像位置的复幅度响
表示第j 个频率下尚未归一化的格林函数。
应 (偶极子)，p jk 代表着在第 j 个频率以及第 k 个入
不同于格林函数获取，为了得到观测信号p，利
射角情况下接收阵的声压信号，接收阵元均匀分布 用背景压力场中的平面波作为激励源。首先在有
在半径为 0.5 m 的声超透镜下方的半圆上 (见图 4)。
声超透镜的情况下将散射体放置在声超透镜上方
由于不同角度入射情况下的格林函数是一致，故只 计算格林函数的矩形区域范围内，利用参数化扫
考虑声源位置和频率变化的影响，对于第 j 个频率， 描使平面波从下方入射与 x 轴正方向夹角从 60° 到
单极点源格林函数对应的测量矩阵为A j ，偶极点源 120°变化，共K 个角度，并导出上述M r 个接收阵元
格林函数对应的测量矩阵为 B j 。矩阵 A j 、B j 分别 位置处的声压数据 ˜ p 1 ；去掉声超透镜后，将散射体
由元素 a mn 、b mn (1 6 m 6 M r , 1 6 n 6 N) 构成， 布放在同样的位置上，重复上述操作，得到 ˜ p 2 ，令
其中的每个元素 a mn 、b mn 计算过程如下：分别将单 p = ˜ p 1 − ˜ p 2 ，即为需要的观测信号。每个频率的测
极点源和 y 方向上的偶极点源放置在图 4 成像区域 量信号p jk 需要除以二范数来进行归一化。
的格点位置上，然后计算 M r = 31 个接收阵元位置 在得到所需要的测量矩阵 A、B 和观测信号 p
处的声压数据。不同频率下的格林函数采用了归一 以后，就利用 CS算法对位置向量 χ、γ 进行求解，代
化处理，以单极点源格林函数归一化为例，表达式 价函数如下：
 v v 
K M N u K M u K M
∑ ∑ 2 ∑ u∑ ∑ 2 u∑ ∑ 2
minimize  ∥A j χ jk + B j γ jk − p jk ∥ + µ t |(χ jk ) | + t |(γ jk ) |  , (8)
2 n n
k=1 j=1 n=1 k=1 j=1 k=1 j=1
其中，µ 为正则化参数，它平衡着 χ、γ 的稀疏性和 存在旁瓣等误差；而当µ值较大时，目标位置会发生
式 (8) 中的最小二乘误差，当 µ 值较小时，由于随机 偏移，甚至会合并为一个目标。因此 µ 值太大太小
误差和噪声的影响，对成像结果的误差容忍度较小， 都会影响分辨性能，在实际应用时要选择合适的 µ