Page 177 - 《应用声学》2023年第2期
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第 42 卷 第 2 期 牟亚东等： 压缩感知的远场亚波长声成像仿真 365
并且利用信号稀疏性，通过一定的线性或者非线性 像。考虑到上述原因，本文最终应用了一个尺寸约
模型重构出原始信号 [19−20] 。信号的重构算法目前 为一个波长的声学超透镜 [28] 。
主要分为 4 类：基于凸优化算法、贪婪算法、组合重 图1中蓝色部分为本文提出的声超透镜结构模
建算法和贝叶斯方法 [21−23] 。其中凸优化算法具有 型的剖面图，该超透镜由 9 个两端开口的共鸣腔构
最强的稀疏恢复保证，在测量矩阵满足一定条件下 成，材质为不锈钢，两个共鸣腔之间的壁厚相同。具
能精确重构所有稀疏信号，而且所需的测量次数也 体参数如图1所示。
非常少，抑制噪声干扰能力强，也常用于小尺度信
号。此外，凸优化算法也有对应的工具箱 CVX，应 w y
用起来比较方便。考虑到上述优点，最终选择利用 l
凸优化算法来对信号进行重构。信号重构过程可以 Λ
表述为，如果未知信号 χ 是稀疏的，那么可以通过 x
b a O
测量 p 和A 采用一定的算法重建出 χ。当χ 为稀疏
声源信号时，求解 χ 可以看作寻求最稀疏解。最初 图 1 声超透镜平面示意图
利用l 0 范数最优化来求解。可重构信号为 Fig. 1 The scheme of acoustic superlens
s.t. ∥p − Aχ∥ 2 6 ε. (1) 该声超透镜的宽度 l = 0.05 m，周期 Λ =
ˆ χ = arg min ∥χ∥ 0
0.014 m，共振腔喉口宽度 a = 0.005 m，喉口深
式 (1) 是利用 l 0 范数来求解，只能通过对所有可能
度b = 0.002 m，共振腔的宽度w = 0.008 m，该声超
的稀疏情况进行求解后才能找到最稀疏的形式，这
透镜的总长度为0.132 m。
是一个 NP 难题 [24] ，需要列出所有非零项位置的线
声超透镜结构的谐振模式可以放大倏逝波并
性组合才能得到最优解，在多项式时间内难以求解，
将其转换为传播波，而且可以增加空间自由度，从而
而且也无法验证其可靠性。研究者指出当信号满足
提升 CS 算法的分辨率。因为需要利用该声超透镜
一定条件时可以将非凸化问题转化成凸化问题来
的共振模式，所以本文中首先利用有限元软件计算
进行最优化求解。因此在求解过程中，应用了 CVX
得到了该声超透镜模型中央位置处的频响曲线，然
工具箱来求解 l 1 范数下的最优化问题 [25] ，其中求
后通过频响曲线得到结构的共振频率。为了得到频
解式如下：
响曲线，需要将声源置于声超透镜中央正上方1 cm
ˆ χ = arg min ∥χ∥ s.t. ∥p − Aχ∥ 6 ε. (2) 处，声源频率带宽为 2000 ∼ 2800 Hz，间隔 2 Hz，
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求解散射体位置的过程就是利用 CS 算法在求 计算并导出声超透镜正下方5 mm 位置处的声压数
解向量χ的稀疏表达。 据；然后将声超透镜取走，其他条件不变，计算并导
设一个已知的测量矩阵A(m×n)，其中m < n， 出同样位置处自由空间的声压数据；最后将有声超
向量y 是长度为m的观测信号，存在测量噪声e。向 透镜和自由空间对应频率的声压数据作比，以比值
量x是长度为n的稀疏表达，根据CS理论可以得到 中的最大值对其进行归一化处理。将归一化后的数
式(3)： 据画成图像即为图 2，其中纵坐标代表归一化后的
声压幅度，横坐标代表频率。根据理论，该声超透镜
y = Ax + e. (3)
结构共有 9 个共振模式，但因为本文选择的频率带
1.2 声超透镜结构 宽较窄，因此所有的共振频率并没有全部找到，但是
有学者借助于声学共鸣腔阵列 (声超透镜) 通 需要的 4 个共振频率已经可以通过图 2 中得到，这
过时间反转实现了亚波长聚焦 [26] 。当声超透镜的 些共振频率对应着频响曲线上 4 个峰值处的频率，
尺寸远远大于一个波长时，倏逝波由于弱衍射效应 分别为2250 Hz、2554 Hz、2668 Hz、2714 Hz。
会被束缚在声超透镜表面，此时利用声超透镜的共 然后利用有限元软件将声源置于结构中央正
振模态只能实现近场亚波长成像，而当声超透镜的 上方1 cm处，计算频率为2574 Hz (2574 Hz为仿真
尺寸小于一个波长时，利用其共振模态可以有效地 带宽范围内的中间频率) 的声场。导出声超透镜正
将倏逝波转换为传播波 [27] ，从而实现远场亚波长成 下方 5 mm、横坐标在 −6.5 ∼ 6.5 cm 之间变化的格
