Page 20 - 《应用声学》2023年第3期

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2.2 簇约束的联合字典矩阵构建 插入密度相对信道时延较低时，各数据块之间互不
在联合稀疏模型 (JSM2) 下，N 个数据块对应 相同的导频位置能够在 CS 匹配相关的过程中提供
的信道冲激响应向量 h i (i ∈ [1, N]) 具有联合稀疏 更全面的子载波响应信息，从而使得匹配相关的结
性，即每个 h i 中少数不为零的抽头所在位置均相 果更加准确。因此，本文方法中，导频子载波采用各
同，但不同信道之间每个抽头对应的多径幅度不同， 数据块相异的随机插入方式。
N 个数据块的联合信道响应模型可表示为 从 N 个数据块输入输出关系推导结果来看，
本文所提方法中的簇约束的联合字典矩阵 Λ 与
h i = Ωξ i , i ∈ (1, 2, · · · , N), (16)
SOMP 算法中的联合字典矩阵的区别在于引入了
式 (16) 中，h i ∈ C N de ×1 ，为第 i 个数据块对应的时
簇约束矩阵 Φ，在 Φ 作用下，联合字典矩阵 Λ 中在
域信道响应向量，Ω 表示 N 个信道共同稀疏支撑集
簇对应位置字典原子 (ψ i , n s < i < n e ) 保持不变，
对应的路径矩阵，Ω ∈ C N de ×K ，矩阵列数K 对应信
簇约束矩阵 Φ 这一先验信息的引入能够限制信道
道的共同稀疏度，路径矩阵中的每一列对应一个多
所在簇区域，在后续的匹配追踪算法求解的过程中
径，在各个列向量中，各多径的时延对应位置处元素
起到了降低有限字典原子数目的作用。
为1，其余部分为0，ξ i ∈ C K×1 为第i 个数据块的多
径系数构成的向量，对于不同的 i，该路径系数可以 2.3 簇约束的OMP算法求解
有不同的取值。 利用 DCS 的思想可以利用式 (18) 中的水声信
在此信道模型基础上引入式 (15) 中的簇区域 道进行联合稀疏恢复，联合N 个数据块进行联合信
¯
约束信息，构建簇约束的联合信道稀疏模型，该模型 道向量h的稀疏重构，对应优化问题表示为
N
中各个数据块在簇区域约束下的信道冲激响应为 ∑
¯ 2
ˆ ¯
h=arg min ∥h i ∥ 1 , s.t. ∥¯ z p − Λh∥ <δ, (19)
2
Φh i = ΦΩξ i . (17) i=1
在簇约束的联合信道稀疏模型下，将式 (5) 中 式 (19) 中的优化问题可以利用簇约束的 SOMP 算
导频子载波处的信号输入输出关系从单数据块扩 法来求解，算法的具体实现步骤如下：
展到N 个数据块可以得到 输入：N 个 OFDM 数据块的簇约束联合字
        典原子矩阵 Λ；N 个 OFDM 数据块的解调符号
z p 1 Ψ 1 0 · · · 0 Φh 1 w p 1
        ¯ z ∈ C L p N×1 ；最大迭代次数K；残差门限δ。
 1       2 
p
i
0
p
0
 z   0 Ψ 2 · · · 0   Φh 2   w  初始化：初始化残差 r = z ，r ∈ C L p ×1 ，
 .
  =    .  +   i p i
. . . . . . .
 .  . . .     . 
 .   . . . .   .   .  i ∈ [1, N]，上标表示迭代次数，下标‘i’ 表示第 i个数
       
z N 0 0 · · · Ψ N Φh N w N 据块，初始化原索引集θ = ∅，原子集合Θ = ∅，初始
p
p
ˆ
| {z } 化各数据块对应的多径系数 h i = ∅, i ∈ [1, N]，初
:=¯ z p
始化迭代次数λ = 1。
     
ΦΨ 1 0 · · · 0 h 1 w p 1 第一步：分别选取字典矩阵 Λ 中第 i 块对应的
     
     2  λ−1
 0 ΦΨ 2 · · · 0   h 2   w  子矩阵的 ΦΨ i 和残差 r 做内积，并求出 N 个数
p
=  . . .    +   i
.
.
λ
 . . . . .   .   .  据块对应的内积和，计算内积和的最大位置 m ，并
 . . . .   .   . 
      λ
λ ；
保存各子矩阵位置m 对应的字典原子ψ m ,λ
N
0 0 · · · ΦΨ N h N w p
| {z } | {z } | {z } λ ∑ ⟩
N ⟨
:=Λ := ¯ h := ¯ w p m = arg max ΦΨ i , R λ−1 ,
i
i=1 . (20)
¯
⇒ ¯ z p = Λh + ¯ w p . (18) λ
θ = θ ∪ m , Θ = Θ ∪ ψ m ,λ
λ
定义式 (18) 中的 Λ ∈ C NL p ×NN de 为簇约束
第二步：采用 LS 法分别计算每个数据块对应
的 联 合 字 典 矩 阵， ¯ z p ∈ C NN de ×1 为 联 合 接 收 的多径系数并更新残差；
¯
导频符号向量，h ∈ C NN de ×1 为联合信道向量， [ ] −1
ˆ
H
i
ξ i = Θ Θ Θz ,
¯ w p ∈ C NN de ×1 为与噪声有关的向量。在联合字典 p i ∈ [1, N]. (21)
ˆ
i
λ
矩阵中，Ψ i ∈ C L p ×N de (i ∈ [1, N])为单个数据块的 r = z − Θξ i ,
p
i
字典矩阵，不同数据块的字典矩阵 Ψ i (i ∈ [1, N])中 第三步：收敛判断：如果各数据块对应残差

2
的导频子载波位置集合可以不同。事实上，在导频
λ
(i ∈ [1, N]) 小于设定的残差门限 δ 或 λ 大于
r
i