Page 31 - 《应用声学》2023年第6期

第 42 卷 第 6 期 王晨青等： 压电陶瓷非线性对大功率换能器结构参数匹配影响的计算分析 1141

简化，应力 T 和感应系数 D 可表示为式 (1) 和式 (2) 械特性阻抗，Z cm 、Z lm 和Z hm 为空腔的等效机械阻
的压电方程。为方便计算分析，在换能器激励动静 抗、孔内损失机械阻抗和小孔辐射阻抗。晶堆等效
态不耦合的假设下，不考虑T 0 和D 0 项，忽略空气介 质心总受力为
质换能器在谐振频率下工作时的电场非线性，可得 ∑
F = −TS 0 + ∆F, (7)
到压电晶堆非线性方程：
αS 2 βE 2 式 (7) 中，S 0 为陶瓷片表面面积。将式 (1) 的应力 T
T = T 0 + cS − eE + + − γSE, (1)
2 2 代入，应变 S 由压电堆前端面位移 ξ 1 与节面与晶堆
γS 2 δE 2 前端面距离l p2 之比代入，得到换能器晶堆前端面的
D = D 0 + eS + εE + + − βSE, (2)
2 2 非线性振动方程：
其中，S 为应变，E 为电场，c、e、ε为经典线性压电系
2
2
2
数，α、β、γ、δ 为非线性系数。 ∂ ξ 1 + ω ξ 1 + α 1 ξ 1 − γS 0 ξ 1 E
∂t 2 lM
压电晶堆受激励振动可表示为 ∂ξ 1 Z Ra ∂ξ 1 eS 0
2 + 2λω + = E, (8)
∂ ξ 1 ∑ ∂t M ∂t M
M = F, (3)
∂t 2 式 (8) 中，含Z Ra 项为新加入的前向负载阻抗，相当
∑
其中， F 为晶堆等效质心受力，ξ 1 为晶堆前端面 于系统中加入等效质量和等效阻尼；ω 为换能器谐
位移，晶堆等效质量M 大小为晶堆质量的1/3。 振频率，含λ式为阻尼项(代表换能器前盖板和压电
晶堆前向负载 (前盖板、匹配层、多孔板和空 晶堆间的损耗)。式(8)中部分项如下：
气介质) 对晶堆前端面作用力可通过图机电等效电
2
路得到。换能器晶堆前向负载等效电路图如图 2 表 ω = E S 0 , (9)
s l p2 M
33
˙
示，ξ i 代表辐射端各部振速，各个阻抗表达式详见文 αS 0
α 1 = , (10)
2
献 [15]。将虚线方框内电路代替为圆形活塞辐射阻 2l M
p2
抗 Z fl 可以得到无匹配层多孔板的机电等效电路。 λ 1 S 0
λ = . (11)
晶堆前向负载对换能器晶堆前端面的作用力∆F 表 2ωl p2 M
达式如下： 对于稳态激励，受激位移和振速仍是周期性的，
˙
∆F = ξ 1 · Z Ra , (4) 因此晶堆前端面位移可用傅里叶级数表示为
n=+∞
式(4)中，Z Ra 为换能器晶堆前向负载阻抗表示为 ∑ jnΩt
ξ 1 (t) = C n e , (12)
Z Ra = R m + Z f1 + Z f3 // (Z f2 + Z A ) , (5) n=−∞
其中，Ω 为扫频激励的频率。电场激励为
[
Z A = R m + Z ml1 + Z ml2 // Z ml1
E 0 ( )
] e jΩt + e −jΩt (13)
+ Z cm // (Z lm + Z hm ) , (6) E(t) = ,
2
其中，E 0 为电场幅值。将表达式代入式 (3)，得到
其中，R m 为连接层机械损失阻抗，Z f1 、Z f2 和 Z f3
为前盖板机械特性阻抗，Z ml1 和 Z ml2 为匹配层机 方程：

. . . .
R m Z f Z ml Z ml ξ  ξ 
ξ  ξ  R m
Z f
.
ξ 
Z ml
DF
Z f Z ml Z cm
Z hm

图 2 换能器晶堆前向负载等效电路
Fig. 2 Equivalent circuit of the forward load of the transducer stack