Page 32 - 《应用声学》2023年第6期

1142 2023 年 11 月

n=+∞ n=+∞ n=+∞ m=+∞
∑ ∑ ∑ ∑
2
− Ω 2 n C n e jnΩt + ω 2 C n e jnΩt + α 1 C n C m e j(n+m)Ωt
n=−∞ n=−∞ n=−∞ m=−∞
( )
n=+∞ n=+∞ n=∞
γS 0 E 0 ∑ j(n+1)Ωt ∑ j(n−1)Ωt ∑ jnΩt
− C n e + C n e + 2λωjΩ nC n e
2l p2 M
n=−∞ n=−∞ n=+∞
n=∞
∑
Z Ra jnΩt eS 0 E 0 ( jΩt −jΩt )
+ jΩ nC n e = e + e . (14)
M 2M
n=+∞
通过式 (14) 可求解在频率为 Ω 的电场激励下 C n 幅 其中，V 0 为压电晶堆晶片电压。
˙
值和相位，即该频率下换能器晶堆前端面振幅。高 换能器辐射声功率为式 (24)，其中 ξ 为辐射面
次谐波分量 (n > 3) 对求解结果影响较小，因此为 振速，R 为辐射阻。加多孔板匹配层换能器辐射面
˙
简化计算只考虑前三阶分量 (n 6 3)。其中，|C 1 | 为 振速按式 (16) 的ξ 4 计算，未加多孔板和匹配层的换
基频幅值，|C 2 | 和 |C 3 | 为二次和三次谐波分量的幅 能器振速按式(18)的ξ 计算。加多孔板和匹配层换
˙′
4
值，基频晶堆前端面振速为 能器辐射阻为 R hm ，未加多孔板和匹配层换能器辐
˙
ξ 1 = jΩC 1 . (15) 射阻为R fl 。
1
˙ 2
换能器辐射面振速为 W = ξ R, (24)
2
P
P
˙ ˙ Z ml2 Z cm ∑ ∑
ξ 4 = ξ 1 · · , (16) (25)
Z ml2 + Z 1 Z cm + Z lm + Z hm Z hm = R hm + jX hm = Z is ,
其中， i=1 s=1 ]
[
2J 1 (k 0 d 2 )
Z 1 = Z ml1 + Z cm // (Z lm + Z hm ) . (17) Z fl = R fl + jX fl = ρ 0 c 0 S 2 1 − k 0 d 2
去掉虚线方框可得未加多孔板和匹配层的换 + jρ 0 c 0 S 2 2H 1 (k 0 d 2 ) , (26)
能器辐射面振速： k 0 d 2
其中，Z hm 和Z fl 表达式推导详见文献[15]中式(10)
˙
˙ ′
ξ = ξ 1 . (18)
4 和式 (11)；Z is 是多孔板小孔之间的互/自辐射阻抗，
根据式 (2) 的压电方程，可得压电晶堆电位移 i 和 s 为孔的序列；J 1 (x) 为一阶 Bessel 函数，H 1 (x)
表达式： 为一阶Struve函数。换能器辐射声功率级为
2
ξ 1 γξ 1 ξ 1 L W = 10 lg(W/W 0 ), (27)
D = e + εE + 2 − βE . (19)
l p2 2l l p2
p2 −12
其中，空气参考声功率 W 0 = 10 Watt，W 可由
压电晶堆电位移方向垂直于晶堆截面。电位移
式(24)代入计算加/未加多孔板换能器的声功率级。
可以用傅里叶级数表示为
换能器指向性指数为
n=+∞
∑ ′ jnΩt  
D(t) = C e , (20)
n
 4π 
n=−∞
  . (28)
DI=10 lg ∫ 2π ∫ π
其中，系数C 可以由系数C n 表示：  2 
′
n D (θ, α) sin θdθdα
e E 0 γ 0 0
′
C = C 1 + ε + (C 2 C −1 + C 3 C −2 · · · )
1 2 空气中换能器轴线上距离换能器x处辐射声压
l p2 2 2l
p2
级(Sound pressure level, SPL)可由式(29)计算：
βE 0
− (C 0 + C 2 ) . (21)
2l p2 ( 2 )
SPL = L W + DI − 10 lg 4πx . (29)
则晶堆输入端电流基频分量为
∫∫ 通过电压 V 0 和式 (22) 晶堆输入端电流 I 可得
∂
I = D · dS 0 ≈ jΩDS 0 . (22) 换能器输入阻抗 Z in = V 0 /I。令电抗为零，可得换
∂t
S 0
能器偏移谐振频率方程：
电场强度幅值为
Im (Z in ) = 0. (30)
E 0 = V 0 /l p , (23)