Page 29 - 《应用声学》2024年第6期

第 43 卷 第 6 期 王晓楠等： 多项式结构恒定束宽波束形成器的高效稀疏化设计 1205

Z -1 Z -1 … Z -1
 th
…
θ w ֒֒ w ֒֒ w ֒֒J֓
+ … +
φ d
…
+
…
Z -1 Z -1 … Z -1 …
…
…
w ֒N֓֒ w ֒N֓֒ w ֒N֓֒J֓
φ d
+ … … + + +
↼K֓↽ th Z -1 Z -1 … Z -1
…
w K֓֒֒ w K֓֒֒ w K֓֒֒J֓
+ … + …
φ d
…
+
Z -1 Z -1 … Z -1 …
…
w K֓֒N֓֒ w K֓֒N֓֒ w K֓֒N֓֒J֓
φ d
+ … + + +
໚ฉവڱ ូՔവڱ
图 1 多项式结构波束形成器的结构图
Fig. 1 Structure of polynomial beamformers

k = 0, 1, · · · , K − 1；∆a k (f, θ)、∆φ k (f, θ)及∆d k 分 式(8)中，f ∈ Ω，θ ∈ Θ，ϕ d ∈ Φ (Ω、Θ、Φ分别表示
别表示第 k 个阵元的增益、相位及位置误差；d k 为 频率、角度、主瓣指向的调节范围)；P d (f, θ, ϕ d )为理
第 k 个阵元与参考点的距离，c 为空气声速，f s 为采 想波束响应；E{·}表示均值运算。但式(8)要求实际
¯
样频率，ϕ d = (ϕ d − 90 )/90 为归一化的期望调向 波束响应尽可能接近理想响应，未考虑恒定束宽约
◦
◦
√
角度，j = −1。 束，可能导致所得波束图的主瓣频率不变性较差，进
为了便于分析，式(2)可进一步改写为 而造成目标声信号存在较大的失真。
为避免这一问题，提出使用 MSRV 设计，即令
ˆ g(f, θ, ϕ d ) = g(f, θ, ϕ d ) + ∆g(f, θ, ϕ d ), (7)
式(8)中的理想响应P d (f, θ ML , ϕ d )为参考频率点的
ˆ
其中，g(f, θ, ϕ d ) = h(f, θ) ⊗ e(f) ⊗ s(ϕ d )为理想导 波束响应 P(f 0 , θ ML , ϕ d )(θ ML 为主瓣角度，f 0 为参
考频率)，并考虑对旁瓣波束响应的约束条件，则恒
向矢量，∆g(f, θ, ϕ d )为失配误差所引起的误差项。
定束宽多项式结构波束形成器的鲁棒优化设计问
题可以表述为
2 多项式结构波束形成器稀疏优化问题
T
的构建 min max E{w [ˆ g(f, θ ML , ϕ d )
w f,θ ML ,ϕ d

2.1 设计准则 − ˆ g(f 0 , θ ML , ϕ d )]} , (9a)
T
s.t. |E{w ˆ g(f 0 , θ ML = ϕ d , ϕ d )}| > 1, (9b)
在实际应用中传声器通常存在增益、相位和位
T
置等误差，因此在多项式结构波束形成器的稀疏化 max |E{w ˆ g(f, θ SL , ϕ d )}| 6 η, (9c)
f,θ SL ,ϕ d
设计中需要采用鲁棒设计方法。现有多项式结构波 其中，θ ML ∈ Θ ML ，θ SL ∈ Θ SL (Θ ML 、Θ SL 分别表示
束形成器的稀疏化设计采用 WCMP 准则较好地解 主瓣、旁瓣的调节范围)；η 为旁瓣响应约束值。为避
决了设计的鲁棒性问题 [8] ，基于 WCMP 准则的鲁 免计算式 (9a) 时产生平凡解，式 (9b) 施加了期望指
棒优化问题表述如下： 向角度，即 θ ML = ϕ d 时的波束响应约束，当不考虑
传声器失配误差时，式 (9b) 取等号。式 (9c) 则约束
ˆ
min max |E{P(f, θ, ϕ d ) − P d (f, θ, ϕ d )}|, (8)
了旁瓣区域内波束响应的上限。
w f,θ,ϕ d