Page 33 - 《应用声学》2024年第6期

第 43 卷 第 6 期 王晓楠等： 多项式结构恒定束宽波束形成器的高效稀疏化设计 1209

且 I U ∈ R U×U 为 U 阶单位矩阵。令式 (34) 中代价 m = 1, 2, · · · , M. (41)
函数对 ˜ w 的一阶导数为0，可得解：
步骤3 更新辅助变量{β (t+1) , y (t+1) }
(t)
˜ w (t+1) = A A A −1 B B B . (37) (t+1) (t+1)
{β , y }
步骤2 更新辅助变量{α (t+1) , x (t+1) } (t) (t) (t)
= arg min λ (β + µ g ||v || 2 − η + τ 2 )
2
考虑到变量 α 与 x 为优化相关项，需要进行联 {β,y}
ρ (t) (t) 2
合求解： + (β + µ g ||v || 2 − η + τ 2 )
2
S
{α (t+1) , x (t+1) } ∑ (t) T T (t+1)
+ ς s (y s − G SL,s ˜ w )
M
∑ T s=1
= arg min α + ξ (t) (x m − G T ˜ w (t+1) ) ρ
m f,m T (t+1) 2
{α,x} + ||y s − G ˜ w || , (42a)
m=1 2 SL,s 2
ρ T (t+1) 2
+ ||x m − G f,m ˜ w || , (38a) s.t. ||y s || 2 6 β, s = 1, 2, · · · , S. (42b)
2
2
s.t. ||x m || 2 6 α, m = 1, 2, · · · , M. (38b) 为了简化运算，舍去与求解无关的项：
舍 去 式 (38a) 中 与 {α (t+1) , x (t+1) } 无 关 的 项， 将 {β (t+1) , y (t+1) } = arg min (β − Γ (t) 2
)
β
{β,y}
式 (38)重新改写为
S
∑ (t+1) 2
{α (t+1) , x (t+1) } + ||y s − Γ y,s || , (43a)
2
s=1
M
ρ ∑ (t+1) 2 (43b)
= arg min α + ||x m − Γ x,m || , (39a) s.t. ||y s || 2 6 β, s = 1, 2, · · · , S,
2
{α,x} 2
m=1
其中，
s.t. ||x m || 2 6 α, m = 1, 2, · · · , M, (39b)
(t) (t) (t) (t)
Γ = η − µ g ||v || 2 − τ − λ /ρ,
其中， β 2 2
(t+1)
Γ y,s = G T ˜ w (t+1) − ς s (t) /ρ, s = 1, 2, · · · , S.
SL,s
(t+1)
Γ x,m =G T ˜ w (t+1) − ξ (t) /ρ, m = 1, 2, · · · , M.
f,m
m
由于式 (43) 与式 (39)问题相似，根据步骤2，若
(t+1)
按从小到大的顺序将 ||Γ x,m || 2 划分成 M + 1 个
(t+1) || 2 按从小到大划分为S +1个区间：Ξ 1 =
∆
区间： 将||Γ y,s
(t+1) ∆ (t+1) (t+1)
[0, ||Γ || 2 ), · · · , Ξ s = [||Γ || || 2 ),
∆ (t+1) y,1 y,s−1 2 , ||Γ y,s
Λ 1 = [0, ||Γ || 2 ), · · · ,
x,1 ∆ (t+1)
· · · , Ξ S+1 = [||Γ || 2 , ∞)，同理可得式 (43) 的最
∆ (t+1) (t+1) y,S
Λ m = [||Γ x,m−1 2 , ||Γ x,m || 2 ), · · · , Λ M+1
||
优解为
∆ (t+1)
= [||Γ || 2 , ∞).
x,M (t+1)
ˆ ˆ
β = {β|β ∈ Ξ χ , χ = 1, 2, · · · , S + 1}, (44)
类似文献[11] 的推导过程，计算式(39)所得结果为
式(44)中，
α (t+1) = {ˆα|ˆα ∈ Λ ι , ι = 1, 2, · · · , M + 1}, (40)   ∑ S 
(t) (t+1)
 Γ + ||Γ y,s || 2

其中，定义符号[·] + 为max{0, ·}，   β s=χ 
 
 , 1 6 χ 6 S,

ˆ
   β = S − χ + 2
1 ∑ M
 − + ||Γ (t+1) || 2  +


 x,m 
  ρ m=ι   (t+1)
 
   , 1 6 ι 6 M, [Γ y,s ] + , χ = S + 1,
ˆ α =  M − ι+1 
 进一步得到：
 +



0, ι = M + 1, (t+1)

y s =
进一步可得：  (t+1) (t+1)
 , || 2 6 β (t+1) ,
 Γ y,s ||Γ y,s

( )
(t+1)
(t+1)
x m = Γ y,s (t+1)
 β (t+1) || 2 > β (t+1) ,
  (t+1) , ||Γ y,s

(t+1)
 (t+1) ||Γ x,m || 2 6 α (t+1) , ||Γ y,s || 2
Γ x,m ,
(t+1) (t+1) (t+1) (t+1) (t+1) s = 1, 2, · · · , S. (45)
(Γ x,m /||Γ x,m || 2 )α , ||Γ x,m || 2 > α ,
