Page 32 - 《应用声学》2024年第6期

1208 2024 年 11 月

ρ T 2 T
˜ g f,m = {g i (f h , θ ML,ˆq , ϕ d,r ) − g i (f 0 , θ ML,ˆq , ϕ d,r )| + ||x m − G f,m ˜ w|| + 2µ g ||v|| 2 + γ (v − ˜ w)
2
2
¯ (l)
∀i ∈ D }, m = 1, 2, · · · , M. (24) ρ 2 T ˜
+ ||v − ˜ w|| + δ||Y || 1 + σ (Y − b ˜ w)
2
2
¯ (l)
˜ g SL,s = {g i (f h , θ SL,¯q , ϕ d,r )|∀i ∈ D }, R
ρ ˜ 2 ∑
s = 1, 2, · · · , S. (25) + ||Y − b ˜ w|| + λ 1,r (1+µ g ||v|| 2 − z r +τ 1 )
2
2
r=1
¯ (l)
˜ g 0,r = {g i (f 0 , θ ML = ϕ d,r , ϕ d,r )|∀i ∈ D }, ρ 2 T
+ (1 + µ g ||v|| 2 − z r + τ 1 ) + κ r (z r − G 0,r ˜ w)
2
r = 1, 2, · · · , R. (26) ρ
2
+ (z r − G T ˜ w) + λ 2 (β + µ g ||v|| 2 − η + τ 2 )
0,r
进一步定义如下实矩阵： 2
S
ρ 2 ∑ T (
G f,m = [Re{˜ g f,m }, Im{˜ g f,m }] ∈ R U×2 , + (β + µ g ||v|| 2 − η + τ 2 ) + ς s y s
2
s=1
m = 1, 2, · · · , M. (27) ) ρ
2
− G T ˜ w + ||y s − G T ˜ w|| , (32)
SL,s
2
SL,s
G SL,s = [Re{˜ g SL,s }, Im{˜ g SL,s }] ∈ R U×2 , 2
其中，ρ 为 ADMM 的步进值。式 (30) 优化问题等价
s = 1, 2, · · · , S. (28)
于如下的对偶问题 [16] ：
U
G 0,r = Re{˜ g 0,r } ∈ R , r = 1, 2, · · · , R. (29)
max min L ρ , (33a)
则式(21)能够转化为实值的形式： {λ 1 ,λ 2 ,ξ,ς,κ,σ,γ} { ˜ w,α,β,x,y,z,v,Y ,τ 1 ,τ 2 }
˜
min max ||G T ˜ w|| 2 + 2µ g || ˜ w|| 2 + δ||b ˜ w|| 1 , s.t. ||x m || 2 6 α, m = 1, 2, · · · , M, (33b)
f,m
˜ w m=1,2,··· ,M
||y s || 2 6 β, s = 1, 2, · · · , S. (33c)
(30a)
根据 ADMM 框架，若在第 t 次迭代过程 (0 6
T
s.t. G 0,r ˜ w > 1+µ g || ˜ w|| 2 , r=1, 2, · · · , R, (30b)
t 6 T，T 为最大迭代次数)，已知权值变量 ˜ w (t) ，辅
max ||G T ˜ w|| 2 + µ g || ˜ w|| 2 6 η, (30c)
s=1,2,··· ,S SL,s 助变量
(l)
(l)
(l)
˜
˜
˜
˜
其中，b = diag{b , b , · · · , b } 为加权系数对角 {α , β (t) , x , y (t) , z (t) , v (t) , Y (t) , τ 1 (t) , τ 2 (t) },
(t)
(t)
1
2
U
阵，|| · || 1 表示ℓ 1 范数。
拉格朗日乘子变量
为了便于ADMM求解，引入以下辅助变量：
(t) (t) (t) (t) (t) (t) (t)
{λ , λ , ξ , ς , κ , σ , γ },
1
2
α = max ||G T ˜ w|| 2 ;
f,m
m=1,2,··· ,M
则在第 t + 1 次迭代过程交替更新各变量时，需
β = max ||G T ˜ w|| 2 ; 提取式 (32) 拉格朗日函数中对应的优化项并代入
SL,s
s=1,2,··· ,S
x m = G T ˜ w, m = 1, 2, · · · , M; 式 (33)进行求解，具体步骤推导如下：
f,m
T 步骤1 更新权值变量 ˜ w (t+1)
y s = G SL,s ˜ w, s = 1, 2, · · · , S; A A A
T
(t)
z r = G T ˜ w, r = 1, 2, · · · , R; ˜ w (t+1) = arg min ˜ w T 2 ˜ w − ˜ w B B B , (34)
0,r
˜ w
˜
v = ˜ w; Y = b ˜ w. 式(34)中，
( M S
则，式(30)可进一步转化为 ∑ T ∑ T
A A A = ρ G f,m G f,m + G SL,s G SL,s
min α + 2µ g ||v|| 2 + δ||Y || 1 , (31a) m=1 s=1
R )
∑
s.t. 1 + µ g ||v|| 2 − z r + τ 1 = 0, + G 0,r G T + b b + I U , (35)
˜ T ˜
0,r
τ 1 > 0, r = 1, 2, · · · , R, (31b) r=1
M
β + µ g ||v|| 2 − η + τ 2 = 0, τ 2 > 0. (31c) (t) ∑ (t) (t)
B B B = G f,m (ξ m + ρx )
m
并引入拉格朗日乘子矢量λ 1 、ξ、ς、κ、σ、γ 以及拉格 m=1
S
R
朗日乘子λ 2 ，根据式(31)构造拉格朗日函数如下： ∑ ∑
+ G SL,s (ς s (t) + ρy (t) ) + G 0,r (κ (t) + ρz (t) )
r
r
s
M
∑ T T s=1 r=1
L ρ = α + ξ (x m − G f,m ˜ w)
m
˜ T
+ b (σ (t) + ρY (t) ) + γ (t) + ρv (t) , (36)
m=1