Page 30 - 《应用声学》2024年第6期

1206 2024 年 11 月

2.2 问题构建 稀疏优化方法。ADMM具备收敛速度快、计算效率
通过对代价函数 (9a) 增加波束形成器权向量 高等优点 [14] ，通过将高维问题转化为多个可并行求
的ℓ 0 范数惩罚项，可以实现多项式结构波束形成器 解的低维优化子问题，能够在保证波束形成器性能
的稀疏化设计。但相应的优化问题是一种 NP-hard 的同时实现高效求解。
问题，优化求解较为困难。一种可行的解决方案是 Ѻݽӑ l=0,
采用迭代加权 ℓ 1 范数 [13] 进行稀疏优化处理，从而 b ↼↽ =1 KNJ, D ↼↽ =∅ 0 /
获得较好的逼近ℓ 0 范数的凸近似结果。
රᝍ͖ӑ᫈ᮥर(10), ४҂w ↼l↽
对于第 l 次迭代 (0 6 l 6 L，L 为最大迭代次
数)，采用迭代加权 ℓ 1 范数的多项式结构波束形成
ఞழb ↼l⇁↽ , D ↼l⇁↽ l/l⇁
器稀疏化设计问题可表示如下：
T
min max |E{w [ˆ g(f, θ ML , ϕ d ) ա
l/L֓⋆
w f,θ ML ,ϕ d
KNJ ௧
∑ (l)
− ˆ g(f 0 , θ ML , ϕ d )]}| + δ b |w i |, (10a) ̽КD ↼L↽ ࣳᝠካ͖ӑ᫈ᮥ
i
i=1 र(11) ४҂త͖ిϙw ⇀
(l)
s.t. w i = 0, ∀i ∈ D , (10b)
图 2 稀疏优化问题的流程图
T
|E{w ˆ g(f 0 , θ ML = ϕ d , ϕ d )}| > 1, (10c) Fig. 2 Flowchart of sparse optimization problems
T
max |E{w ˆ g(f, θ SL , ϕ d )}| 6 η, (10d)
3 稀疏化问题的ADMM求解算法
f,θ SL ,ϕ d
(l) (l−1)
其中，δ 为稀疏度控制参数；b = 1/(|w | + ε 0 )，
i i
3.1 优化问题的转化
i = 1, 2, · · · , KNJ，为第 l 次迭代的加权系数；ε 0
为一小的正实数，以确保算法的稳定；D (l) = 由于式(9a)∼(9c)为非凸问题，不便于求解。为
(l−1) 此，首先将其近似转化成相应的凸问题。根据式 (7)
{i||w | 6 ε D } 为权值零位置索引，则式 (10b)
i
表示当权值低于门限值 ε D 时则视为是可稀疏的并 可以得到平均波束响应的表达式为
(l)
ˆ
置为零值。令 b (l) = (b ) KNJ×1 ，则当 l = 0 时，有 E{P(f, θ, ϕ d )}
i
T
b (0) = 1 KNJ 且 D (0) = ∅，1 KNJ ∈ R KNJ 为全 1 列 = w g(f, θ, ϕ d ) + E{w ∆g(f, θ, ϕ d )}. (12)
T
向量。
因此，根据式 (12)，可以寻找式 (9a) 中代价函数的
当迭代次数达到预设的最大值 L 时，求解如下
上界：
含约束的优化问题可得到最优权值w ：
∗
T
|E{w [ˆ g(f, θ ML , ϕ d ) − ˆ g(f 0 , θ ML , ϕ d )]}|
T
min max |E{w [ˆ g(f, θ ML , ϕ d ) T
= |w [g(f, θ ML , ϕ d ) − g(f 0 , θ ML , ϕ d )]
w f,θ ML ,ϕ d
− ˆ g(f 0 , θ ML , ϕ d )]}|, (11a) T
+ w E{∆g(f, θ ML , ϕ d )}
s.t. w i = 0, ∀i ∈ D (L) , (11b) T
− w E{∆g(f 0 , θ ML , ϕ d )}|
T
|E{w ˆ g(f 0 , θ ML = ϕ d , ϕ d )}| > 1, (11c) T
6 |w [g(f, θ ML , ϕ d ) − g(f 0 , θ ML , ϕ d )]|
T
T
max |E{w ˆ g(f, θ SL , ϕ d )}| 6 η. (11d) + |w E{∆g(f, θ ML , ϕ d )}|
f,θ SL ,ϕ d
T
以上稀疏化设计问题的整体流程图如图2所示。 + |w E{∆g(f 0 , θ ML , ϕ d )}|, (13)
T
根据图 2 所示步骤，在对原始非凸问题式 (10) 式 (13) 中， 当 w [g(f, θ ML , ϕ d ) − g(f 0 , θ ML , ϕ d )]、
T
T
与式 (11) 进行凸近似处理后，类似文献 [8]，可采用 w E{∆g(f, θ ML , ϕ d )}、−w E{∆g(f 0 , θ ML , ϕ d )}三
CVX 凸优化工具箱进行求解。但考虑到多项式结 项同号或w 取零解时，不等式的等号成立。
构波束形成器权系数维数高，且迭代加权 ℓ 1 范数稀 考虑到实际测量偏差，基于 WCMP 的设计
疏涉及多次迭代过程，使用 CVX 存在优化效率低 准则，假设传声器失配误差的均值存在小的扰
的突出问题。鉴于此，下文将提出基于 ADMM 的 动：|E{∆a k (f, θ)}| 6 µ a ，|E{∆φ k (f, θ)}| 6 µ φ ，